Wallis積分(ウォリス――)


大学受験でもよくみかける Wallis積分($\sin^n{x}$ や $\cos^n{x}$ の定積分)に関するメモ.Th1.2 や Th1.4 は 自分で導くのも良い演習になるかもしれない.Cor1.3は高校数学の範囲の中で留めようとした結果,証明が煩雑になってしまった.Th1.5 は発想の勝利.

スポンサーリンク
Def 1.1
$m = 0,1,2,\ldots,$ に対し
\[
I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^m{x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m{x}\,dx
\]
を Wallis 積分 という.
コメント
Th 1.2
$\{I_m\}$ に対して,漸化式
\[
I_{m+2} = \frac{m+1}{m+2}I_m \quad (m = 0,1,2,\ldots)
\]
が成り立つ.
証明
Cor 1.3
$n = 0,1,2,\ldots $ に対し
\[
I_{2n} = \frac{{}_{2n}{\rm C}{}_{n}}{4^n} \cdot \frac{\pi}{2}~,\qquad I_{2n+1} = \frac{4^n}{{}_{2n}{\rm C}{}_{n}}\cdot\frac{1}{2n+1}
\]
が成り立つ.
証明
Prop 1.4
$\{I_m\}$ は非負単調減少列である.すなわち
\[
0 < \cdots \leqq I_{m+1} \leqq I_{m} \leqq \cdots \leqq I_1 \leqq I_0
\]
証明

Th 1.5(Wallisの公式)
\[
\lim_{m \to \infty}\sqrt{m}I_m = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
証明

[/wpex]

Cor 1.6
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}\cdot{}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\]
証明
スポンサーリンク