Wallis積分(ウォリス――)


大学受験でもよくみかける Wallis積分(\sin^n{x}\cos^n{x} の定積分)に関するメモ.Th1.2 や Th1.4 は 自分で導くのも良い演習になるかもしれない.Cor1.3は高校数学の範囲の中で留めようとした結果,証明が煩雑になってしまった.Th1.5 は発想の勝利.

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Def 1.1
m = 0,1,2,\ldots, に対し

    \[ I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^m{x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m{x}\,dx \]

を Wallis 積分 という.

コメント

Th 1.2
\{I_m\} に対して,漸化式

    \[ I_{m+2} = \frac{m+1}{m+2}I_m~~~~(m = 0,1,2,\ldots) \]

が成り立つ.

証明

Cor 1.3
n = 0,1,2,\ldots に対し

    \[ I_{2n} =  \frac{{}_{2n}{\rm C}{}_{n}}{4^n} \cdot \frac{\pi}{2}~,~~~~~~I_{2n+1} = \frac{4^n}{{}_{2n}{\rm C}{}_{n}}\cdot\frac{1}{2n+1} \]

が成り立つ.

証明

Prop 1.4
\{I_m\} は非負単調減少列である.すなわち

    \[ 0 < \cdots \leqq I_{m+1} \leqq I_{m} \leqq \cdots \leqq I_1 \leqq I_0 \]

証明

 

Th 1.5(Wallisの公式)

    \[ 	\lim_{m \to \infty}\sqrt{m}I_m = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

証明

[/wpex]

 

Cor 1.6

    \[ 	\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}\cdot{}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \]

証明


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