n項間の漸化式#2


前回の記事「n項間の漸化式#1」では線形代数を用いたが,高校数学で作られた知人の解答を載せておく.問題は

漸化式

    \[ a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n - 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を求めよ.

である.以下の解答は隠しタグにしていないので,そのまま表示されることに注意.

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解答

与えられた漸化式を変形すると

    \[ a_{n+3} - a_{n+1} = -2(a_{n+2} - a_{n}) - 1 \]

であるから

    \[ \left\{     \begin{array}{lll}       a_{n+4} - a_{n+2} & = & -2(a_{n+3}-a_{n+1} - 1)  \\                         & = & -2\{-2(a_{n+2} - a_n)-1\}-1 \\                         & = & 4(a_{n+2}-a_n)+1 \\ \\       a_{n+4} - 4a_{n+2} & = & -2(a_{n+3}-a_{n+1} - 1)-3a_{n+2} \\                          & = & -2\{-2(a_{n+2} - a_n)-1\}-1 -3a_{n+2} \\                          & = & a_{n+2}-4a_n+1     \end{array} \]

すなわち

(\clubsuit)   \[ \left\{     \begin{array}{l}       a_{n+4} - a_{n+2} =  4(a_{n+2}-a_n)+1  \\ \\        a_{n+4} - 4a_{n+2}  =  a_{n+2}-4a_n+1     \end{array} \]

が成り立つ.ここで,\{a_n\} を添字の偶奇によって以下のように2つの数列 \{b_n\},\{c_n\} に分割する.

    \[ a_n = \left\{     \begin{array}{l}       b_{\frac{n+1}{2}}  \\       c_{\frac{n}{2}}     \end{array} \]

先に得られた漸化式 (\clubsuit) より

(\heartsuit)   \[ \left\{     \begin{array}{l}       b_{n+2} - b_{n+1} = 4(b_{n+1}-b_{n}) + 1 \\ \\        b_{n+2} -4b_{n+1} = b_{n+1} - 4b_{n} + 1      \end{array} \]

(\spadesuit)   \[ \left\{     \begin{array}{l}       c_{n+2} - c_{n+1} = 4(c_{n+1}-c_{n}) + 1  \\ \\        c_{n+2} - 4c_{n+1} = c_{n+1} - 4c_{n} + 1     \end{array} \]

が成り立つから \to 補足1

(\heartsuit) の1つ目の漸化式は

    \[ b_{n+2} - b_{n+1} + \frac{1}{3} = 4\left(b_{n+1} - b_n + \frac{1}{3}\right) \]

と変形できる.いま

    \[ b_2 - b_1 + \frac{1}{3} = a_3 - a_1 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

であるから

(\heartsuit')   \[ b_{n+1} - b_n = \frac{1}{3}(7\cdot 4^{n-1} - 1)  \]

が成り立つ.(\heartsuit) の2つ目の漸化式は

    \[ b_{2} - 4{b_1} = -1 \]

であるから

(\heartsuit'')   \[ b_{n+1} - 4b_{n} = n-2  \]

が成り立つ.(\heartsuit') - (\heartsuit'') を計算して

    \begin{eqnarray*} 3b_{n} & = & \frac{1}{3}(7 \cdot 4^{n-1} - 3n + 5) \\ b_{n} & = & \frac{1}{9}(7 \cdot 4^{n-1} - 3n + 5) \end{eqnarray*}

を得る.(\spadesuit) の漸化式からは

    \[ c_{2}-c_{1} + \frac{1}{3} = -\frac{14}{3},~~~~c_{2} - 4c_1 = -11 \]

に注意すれば,(\heartsuit) と同様に計算して

    \[ c_n = \frac{1}{9}(-14 \cdot 4^{n-1} - 3n + 35) \]

を得る.ところで,\{b_n\},\{c_n\} の定め方によれば

    \[ a_n = \left\{     \begin{array}{lc}       \frac{1}{18}(7\cdot 2^{n}-3n+7) & (n:odd)\\ \\       \frac{1}{18}(-7\cdot 2^{n}-3n+70) & (n:even)     \end{array} \]

である(odd は奇数,even は偶数を表す)から奇数項と偶数項での違いは 770 かだけであると判る.奇数項で値が 7 ,偶数項で値が 70 となるような数列を求めると

    \[ \frac{77}{2} + \frac{63}{2}(-1)^{n} \]

である.したがって

    \[ a_n = \frac{1}{36}\left\{77 - 14(-2)^n +63(-1)^n - 6n \right\} \]

を得る.


行列を用いたときとは全く異なるアプローチ.セオリー通りの操作も少なくないが,そう簡単に思いつくものなのだろうか.


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