積分メモ#2


今回は対称性をもつ連続関数の性質を用いた定積分についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求める.

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対称性をもつ連続関数の定積分の性質

 
Lemma 1

$a$ を正の定数とする.連続関数 $f(x)$ について
\[
\int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(a-x)\,dx
\]
が成り立つ.

 
補足(click)

図形的な意味を考えると,$0 \leqq x \leqq a$ において,$y = f(x)$ と $y = f(a-x)$ は鏡写しになる.鏡の位置は直線 $x = a/2$ である.

 
証明(click)

変数変換 $a-x = t$ によって
\[
\int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(a-t) \cdot (-1)\,dt = \int_{0}^{a}f(a-t)\,dt
\]
が成り立つから,右辺の積分変数を $x$ とすれば結論を得る.

 
Lemma 2

$a$ を定数とする.連続関数 $f(x)$ がすべての実数 $x$ に対して $f(a-x) = f(x)$ を満たすとき
\[
\int_{0}^{a} \left(x-\frac{a}{2}\right)f(x)\,dx = 0
\]
が成り立つ.

 
証明(click)

\[
I = \int_{0}^{a} \left(x-\frac{a}{2}\right)f(x)\,dx
\]
とおく.$a-x = t$ と変数変換すると
\[
I = \int_{0}^{a} \left(x-\frac{a}{2}\right)f(x)\,dx = \int_{a}^{0} \left(a-t-\frac{a}{2}\right)f(a-t)\cdot (-1)\,dt = -\int_{0}^{a} \left(t-\frac{a}{2}\right)f(t)\,dx =-I
\]
であるから,$I = 0$ を得る.

 

Lemma 2 で示した等式を整理すると,$f(a-x) = f(x)$ を満たす連続関数 $f(x)$ は
\[
\int_{0}^{a} xf(x) \,dx = \frac{a}{2}\int_{0}^{a}f(x)\,dx
\]
を満たすことがわかる.

 

実際の計算への適用

Question 3

定積分
\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx
\]
の値を求めよ.

 
解答(click)

Lemma 1 より
\[
I = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx
\]
とおけば
\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} \,dx = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx = I
\]
が成り立つ.ゆえに
\[
2I = I + I = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx + \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} \,dx = \int_{0}^{4}\,dx = 4
\]
である.したがって
\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx = I = 2
\]
となる.

//
 
Question 1.4

定積分
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]
の値を求めよ.

 
解答(click)

\[
f(x) = \frac{\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}
\]
とおくと,$\sin{\pi-x} = \sin{x},~~\cos{\pi-x} = -\cos{x}$ に注意すれば
\[
f(\pi-x) = \frac{\sin^3{(\pi-x)}}{4-\cos^2{(\pi-x)}} = \frac{\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}} = f(x)
\]
であるから,Lemma 2 を用いれば
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]
が成り立つ.ここで,$t = \cos{x}$ と変数変換すると
$$
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
& = & \int_{1}^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2}\cdot (-1) \,dt \\
& = & \int_{-1}^{1} \frac{4-t^2-3}{4-t^2}\,dt \\
& = & \int_{-1}^{1} \left(1 + \frac{3}{t^2-4}\right)\,dt \\
& = & \int_{-1}^{1} \left\{1 + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2} \right) \right\}\,dt \\
& = & \biggl[t + \frac{3}{4}\bigl(\log{|t-2|}-\log{|t+2|}\bigr)\biggr]_{-1}^{1} \\
& = & 2-\frac{3}{2}\log{3}
\end{eqnarray*}
$$
であるから,求める定積分は
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx = \frac{\pi}{2}\cdot \left(2-\frac{3}{2}\log{3}\right) = 1-\frac{3}{4}\log{3}
\]
となる.

//
 

20190519 更新


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