積分メモ#2


今回は連続関数の定積分の性質についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

    \[ \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~,~~~~\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx \]

の値を求めてみる.

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連続関数と定積分の性質

Lemma 1.1
a を正の定数とする.連続関数 f(x) について

    \[ \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(a-x)\,dx \]

が成り立つ.

コメント

証明

Lemma 1.2
a を定数とする.連続関数 f(x) が,すべての実数 x に対して f(a-x) = f(x) を満たすとき

    \[ \int_{0}^{a} \left(x - \frac{a}{2}\right)f(x)\,dx = 0 \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.2 で示した等式を,より適用しやすい形に整理すると,f(a-x) = f(x) を満たす連続関数 f(x)

    \[ \int_{0}^{a} xf(x) \,dx = \frac{a}{2}\int_{0}^{a}f(x)\,dx \]

を満たすことがわかる.

実際の計算への適用

Question 1.3
上の Lemma の結果を用いて,定積分

    \[ \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx \]

の値を求めよ.

解答

Question 1.4
上の Lemma の結果を用いて,定積分

    \[ \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx \]

の値を求めよ.

解答
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