積分メモ#2


今回は連続関数の定積分の性質についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求めてみる.

スポンサーリンク

連続関数と定積分の性質

Lemma 1.1
$a$ を正の定数とする.連続関数 $f(x)$ について
\[
\int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(a-x)\,dx
\]
が成り立つ.

コメント

証明

Lemma 1.2
$a$ を定数とする.連続関数 $f(x)$ が,すべての実数 $x$ に対して $f(a-x) = f(x)$ を満たすとき
\[
\int_{0}^{a} \left(x-\frac{a}{2}\right)f(x)\,dx = 0
\]
が成り立つ.

証明

Lemma 1.2 で示した等式を,より適用しやすい形に整理すると,$f(a-x) = f(x)$ を満たす連続関数 $f(x)$ は
\[
\int_{0}^{a} xf(x) \,dx = \frac{a}{2}\int_{0}^{a}f(x)\,dx
\]
を満たすことがわかる.

実際の計算への適用

Question 1.3
上の Lemma の結果を用いて,定積分
\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx
\]
の値を求めよ.

解答

Question 1.4
上の Lemma の結果を用いて,定積分
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]
の値を求めよ.

解答
スポンサーリンク