無限級数メモ#3〈Leibniz の公式(ライプニッツ――)〉


今回は次の

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \]

をはじめとしたいくつかの無限級数の値を求めてみる.この頁は内容が密になりそうだったので,広く浅く進める.誘導つき問題形式のメモにした.

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さて,上の級数はいくつかの名称がある.もっともよく目にするのはおそらく Leibniz の公式(ライプニッツ――)という名称だと思われるが,Mādhava-leibniz 級数(マーダヴァ――)や Gregory の級数(グレゴリー――)と呼ばれることもある.最初に発見したのは Mādhava であり,その300年後に Leibniz と Gregory がそれぞれ独立に再発見したという説が有力なようだ.

また,知っている人も(あるいは級数の形から気がついた人も)いるかもしれないが,多少融通を効かせるためには「逆三角関数」が必要になる.最後に簡単な補足を入れているが,今回はその点は強引に突破したので,目をつぶって頂きたい.

準備

次のような関数 f(x) を考える.f(x)

    \[ -\frac{\pi}{2} < f(x) < \frac{\pi}{2} \]

であって,任意の x に対して

    \[ x = \tan{y} \]

を満たすような y の値を返す.たとえば

    \[ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}~,~~~f(1) = \frac{\pi}{4}~,~~~f(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \]

が成り立つ.

コメント

問題

以下の問における f(x) は,上の準備で定めた関数 f(x) を表すものとする.

Question1.1
a0 < a \leqq 1 を満たす定数とする.数列 \{a_n\}~~(n = 1,2,3,\ldots)

    \[ a_n = \int_{0}^{a} \frac{x^{2n}}{x^2 + 1}\,dx \]

で定める.

(1) a_1a,~f(a) を用いて表せ.

(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n = 0} を示せ.

(3) a_{n+1} + a_nna の式で表せ.

(4) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(a_{n+1}+a_n)f(a) の式で表せ.

(5) 無限級数

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \]

の値を求めよ.

解答

(1) 解答


(2) 解答



(3) 解答



(4) 解答


(5) 解答


その他の級数の値

a に幾つかの値を代入して次の結果を得る.

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1) \cdot (-3)^n} = \frac{\sqrt{3}}{6}\pi~,~~~\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1) \cdot (5-2\sqrt{5})^n} = \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5}\pi \]

これはそれぞれ

    \[ f(a) = \frac{\pi}{6}~~,~~~\frac{\pi}{5} \]

となるような a を代入した結果である.

逆三角関数についての補足

今回の準備の段階で用意した関数を y = f(x) と表すと,xy の対応は1対1であったから,これは y = \tan{x} の逆関数となっている.この関数を

    \[ \tan^{-1}{x}~~~,~~~\arctan{x} \]

などと表す.古い教材では流儀が多少異なることもあるようだが,基本的には

    \[ \tan^{-1}{x} \neq \frac{1}{\tan{x}} = (\tan{x})^{-1} \]

である.逆数を表すときにはこのままでは紛らわしいので

    \[ \frac{1}{\tan{x}} = \cot{x} \]

と表すことで回避することが多い.さて,上の表記を用いれば,今回導いた結果は

    \[ \arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}~~~~(0 \leqq x \leqq 1) \]

となる.ここで,もっともらしくするためにax で置き換えた.また,x = 0 は問題では考えていないが,自明なので定義域にいれてある.これは関数 \arctan{x} の Maclaurin 展開の式にほかならない.ただし,本来の定義域は -1 \leqq x \leqq 1 であったはずであるから,この問を通じて,制限付きで展開の結果を得られたということである.


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