Gamma 関数(ガンマ――)


階乗(!)の一般化として用いられる Gamma 関数

    \[ 	\Gamma (x) = \lim_{\scriptstyle R \to \infty \atop \scriptstyle r \to +0} \int_{r}^{R} t^{x-1}e^{-t}\,dt~~~~~(x > 0) \]

についてのメモ.Gamma 関数は定義域を実部が正である複素数全体まで拡張することができるが,実数に制限したものについてまとめたメモ.以前のGauss 積分の記事の結果を用いる場面がある.

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Def 1.1
x > 0 とする.関数

    \[ 	\Gamma (x) = \lim_{\scriptstyle R \to \infty \atop \scriptstyle r \to +0} \int_{r}^{R} t^{x-1}e^{-t}\,dt \]

を Gamma 関数 という.

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Lemma 1.2
任意の実数 p に対して

    \[ 	\lim_{x \to \infty}\frac{x^p}{e^x} = 0 \]

が成り立つ.

証明

Th 1.3

    \[ 	\Gamma (x+1) = x \Gamma (x) \]

証明

Cor 1.4
任意の自然数 n に対して

    \[ 	\Gamma (n+1) = n! \]

証明

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Ex 1.5

    \[ 	\Gamma \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

証明

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