Basel問題(バーゼル――)


Basel 問題は 自然数の平方数の逆数すべての和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を求める問題である.この級数の和が $\pi^2/6$ に収束することを,高校数学の範囲で示す方法についてのメモ.

なお,今回の手法については 日本女子大学 理学部 数学科 の2003推薦入試の問題 を改題したものを利用している.

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この記事では,$N = 0,1,2,\ldots,$ に対し,数列 $\{S_N\}$ を
\[
S_N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2N}{x}\,dx
\]
と定める.

Lemma 1.1
$\{I_m\}~~(m = 0, 1, 2, \ldots)$ を Wallis 積分 とする:
\[
I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{t}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{t}\,dt
\]
このとき,$N = 1,2,\ldots$ に対して,次の等式が成り立つ.
\[
S_N = \frac{2N-1}{2N}S_{N-1}-\frac{1}{2N^2}I_{2N}
\]
証明

Lemma 1.2
$N = 0,1,2,\ldots,$ に対して
\[
S_N = \frac{{}_{2N}{\rm C}_{N}}{4^N}\cdot \frac{\pi}{4}\left(\frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2}\right)
\]
が成り立つ.
証明

Lemma 1.3
$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ に対し
\[
\frac{2}{\pi}x \leqq \sin{x}
\]
が成り立つ.
証明

Th 1.5(Basel 問題)
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\]
証明

Cor 1.6
正の奇数の平方数の逆数すべての和 は 正の偶数の平方数の逆数すべての和 の3倍である.
証明


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