Basel問題(バーゼル――)


Basel 問題は 自然数の平方数の逆数すべての和

    \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \]

を求める問題である.この級数の和が \frac{\pi^2}{6} に収束することを,高校数学の範囲で示す方法についてのメモ.

なお,今回の手法については 日本女子大学 理学部 数学科 の2003推薦入試の問題 を改題したものを利用している.

スポンサーリンク

コメント

この記事では,N = 0,1,2,\ldots, に対し,数列 \{S_N\}

    \[ S_N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2N}{x}\,dx \]

と定める.

Lemma 1.1
\{I_m\}~~(m = 0, 1, 2, \ldots)Wallis 積分 とする:

    \[ 	I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{t}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{t}\,dt \]

このとき,N = 1,2,\ldots に対して,次の等式が成り立つ.

    \[ 	S_N = \frac{2N-1}{2N}S_{N-1} - \frac{1}{2N^2}I_{2N} \]

証明

Lemma 1.2
N = 0,1,2,\ldots, に対して

    \[ S_N = \frac{{}_{2N}{\rm C}_{N}}{4^N}\cdot \frac{\pi}{4}\left(\frac{\pi^2}{6} - \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2}\right) \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.3
0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} に対し

    \[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin{x} \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.4
N = 0,1,2,\ldots, に対して

    \[ 0 \leqq S_N \leqq \frac{1}{2N+2}\cdot \frac{{}_{2N}{\rm C}_{N}}{4^N}\cdot \frac{\pi^3}{8} \]

が成り立つ.

証明

Th 1.5(Basel 問題)

    \[ 	\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

証明

Cor 1.6
正の奇数の平方数の逆数すべての和 は 正の偶数の平方数の逆数すべての和 の3倍である.
証明


スポンサーリンク