三角関数の和


高校数学の教科書には載っていない和についてのメモ.今回は三角関数 $\sin{k \theta}$ , $\cos{k \theta}$ の和
\[
\sum_{k=1}^{n}\sin{k \theta}~,~~~~~\sum_{k=1}^{n}\cos{k \theta}
\]
を求める.

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Lemma 1.1(積和の公式)
実数 $\alpha,\beta$ に対して次の等式

\begin{eqnarray*}
{\rm (i)} & & 2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) \\
{\rm (ii)} & & 2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \\
{\rm (iii)} & & 2\cos{\alpha}\cos{\beta} = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)
\end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明

Lemma 1.2(和積の公式)
実数 $A,B$ に対して次の等式

\begin{eqnarray*}
(\sharp) & & \sin{A}+\sin{B} = 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \\
(\ast) & & \cos{A}+\cos{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}
\end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明

Th 1.3
任意の実数 $\theta$ と 整数 $m$ に対し
\[
\sum_{k=1}^{n}\sin{2k \theta} = \left\{
\begin{array}{lc}
\displaystyle{\frac{\sin{n\theta}\cdot \sin{(n + 1)\theta}}{\sin{\theta}}} & (\theta \neq m\pi)\\ \\
0 & (\theta = m \pi)
\end{array}\right.
\]
\[
\sum_{k=1}^{n}\cos{2k \theta} = \left\{
\begin{array}{lc}
\displaystyle{\frac{\sin{n\theta} \cdot \cos{(n+1)\theta}}{\sin{\theta}}} & (\theta \neq m\pi)\\ \\
-n & (\theta = m \pi)
\end{array}\right.
\]

コメント

証明



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