三角関数の和


高校数学の教科書には載っていない和についてのメモ.今回は三角関数 \sin{k \theta} , \cos{k \theta} の和

    \[ \sum_{k=1}^{n}\sin{k \theta}~,~~~~~\sum_{k=1}^{n}\cos{k \theta} \]

を求める.

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Lemma 1.1(積和の公式)
実数 \alpha,\beta に対して次の等式

    \begin{eqnarray*} {\rm (i)} & & 2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \\ {\rm (ii)} & & 2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \\ {\rm (iii)} & & 2\cos{\alpha}\cos{\beta} = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) \end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明

Lemma 1.2(和積の公式)
実数 A,B に対して次の等式

    \begin{eqnarray*} (\sharp) & & \sin{A}+\sin{B} = 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \\ (\ast) & & \cos{A}+\cos{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明

Th 1.3
任意の実数 \theta と 整数 m に対し

    \[ \sum_{k=1}^{n}\sin{2k \theta} = \left\{     \begin{array}{lc}       \displaystyle{\frac{\sin{n\theta}\cdot \sin{(n + 1)\theta}}{\sin{\theta}}} & (\theta \neq m\pi)\\ \\       0 & (\theta = m \pi)     \end{array} \]

    \[ \sum_{k=1}^{n}\cos{2k \theta} = \left\{     \begin{array}{lc}       \displaystyle{\frac{\sin{n\theta} \cdot \cos{(n+1)\theta}}{\sin{\theta}}} & (\theta \neq m\pi)\\ \\       -n & (\theta = m \pi)     \end{array} \]

コメント

証明



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