人口予測のモデル#2


前回の記事では Malthus による人口予測のモデルを扱った.前回のモデルには多くの問題点があったが,そのなかの一つ,人口が限りなく増加してしまうという点について,1837年にオランダの生物学者 Verhulst(フェルフルスト)が 人口過密 を考慮に入れた修正を提案した.

Model 2.1(Verhulst の人口モデル)
時刻 t におけるある国の総人口 N = N(t) は,時刻 t=0 における人口 N_0 と定数 \gamma , M を用いて

    \[ 	N = \frac{M}{1 + \left(\frac{M}{N_0}-1\right)e^{-\gamma t}} \]

と表されると予測できる.

 

今回はこのモデルについてのメモ.
 

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導出

Malthus のモデルにはなかった新たなパラメータ M は,人口の上限である.

人口は文明が継続し得る限り増加するが,上限 M がある(より正確には,人口は時間とともにある値 M へと収束する)とする.また,人口変化 dN/dt は,次の二つに比例すると仮定する.

(a) 現在の人口 N
(b) 未利用の人口資源の上限に対する比 (M-N)/M

補足1

すなわち

(1)   \[ 	\frac{dN}{dt} = \gamma N \cdot \frac{M-N}{M}  \]

とした.これは

    \[ 	\frac{M}{N(N-M)}\frac{dN}{dt} = -\gamma \]

とできるから

    \begin{eqnarray*} \log{\left(1-\frac{M}{N}\right)} & = & \log{(N-M)} - \log{N} \\ & = & \int \left(\frac{1}{N-M} - \frac{1}{N}\right) \,dN \\ & = & \int \frac{M}{N(N-M)} \frac{dN}{dt} \,dt \\ & = & \int -\gamma \,dt \\ [8pt] & = & -\gamma t + C \end{eqnarray*}

ここで,C は定数である.ゆえに

    \[ N  = \frac{M}{1-e^Ce^{-\gamma t}} \]

である.t = 0N = N_0 とするならば

    \[ e^C = 1 - \frac{M}{N_0} \]

であって

(2)   \[ N = \frac{M}{1 + \left(\frac{M}{N_0}-1\right)e^{-\gamma t}}  \]

を得る.
補足2


これは \gamma>0 である限り,最初の仮定

    \[ \lim_{t \to \infty} N = M \]

を満たしている.

パラメータ N_0,\gamma,M を定めてモデルを当てはめてみる.N_0 は 1980 年の日本,米国の総人口でよい.\gamma,M については,定める方法が何通りかある(最小二乗法によるフィッティングなど)が,ここでは 1981 年,1982 年の総人口から定めてみよう.式 (2)

    \[ M = N \frac{1-e^{-\gamma t}}{1-\frac{N}{N_0}e^{-\gamma t}} \]

と変形できる.簡単のため時刻 t での総人口を N_t とおくことにすると

    \[ M = N_1\frac{1-e^{-\gamma}}{1-\frac{N_1}{N_0}e^{-\gamma}} = N_{2} \frac{1-e^{-2\gamma}}{1-\frac{N_2}{N_0}e^{-2\gamma}} \]

であるから,\gamma \neq 0 のとき

    \[ \gamma = \log{\frac{N_2(N_0-N_1)}{N_0(N_1-N_2)}} \]

を得る.また

    \[ M = N_1 \cdot \frac{N_2(N_0-N_1)-N_0(N_1-N_2)}{N_2(N_0-N_1)-N_1(N_1-N_2)} \]

である.

補足3


日本,米国それぞれの添え字を J,A とすると

    \[ \gamma_J = 0.03809539121090161 \cdots ,M_J = 144.7565675790468\cdots \]

    \[ \gamma_A =0.05953659511104312\cdots ,M_A = 275.26033318074536\cdots \]

補足4

結果は以下の表とグラフである.青が実際の人口,橙(V)は Verhulst のモデルによる予測値.なお,1980,1981,1982 年の値は初期値として計算に組み込んでいるため, V の欄は予測値ではなく実測値そのものになる.なお,人口の単位は(百万人)である.

    \[ \begin{array}{ccccccc} \hline year &&  Japan &  JapanV &  & America & AmericaV\\ \hline \hline 1980&& 116.77& 116.77& & 227.62& 227.62\\ 1981&& 117.62& 117.62& & 229.92& 229.92\\ 1982&& 118.45& 118.45& & 232.13& 232.13\\ 1983&& 119.27& 119.26& & 234.25& 234.25\\ 1984&& 120.05& 120.05& & 236.31& 236.29\\ 1985&& 120.80& 120.82& & 238.42& 238.24\\ 1986&& 121.45& 121.57& & 240.59& 240.10\\ 1987&& 122.03& 122.30& & 242.75& 241.89\\ 1988&& 122.55& 123.02& & 244.97& 243.60\\ 1989&& 123.03& 123.71& & 247.29& 245.23\\ 1990&& 123.44& 124.39& & 250.05& 246.78\\ 1991&& 123.93& 125.05& & 253.39& 248.27\\ 1992&& 124.37& 125.69& & 256.78& 249.68\\ 1993&& 124.77& 126.31& & 260.15& 251.03\\ 1994&& 125.12& 126.91& & 263.33& 252.31\\ 1995&& 125.44& 127.50& & 266.46& 253.54\\ 1996&& 125.71& 128.07& & 269.58& 254.70\\ 1997&& 126.01& 128.62& & 272.82& 255.80\\ 1998&& 126.35& 129.16& & 276.02& 256.85\\ 1999&& 126.59& 129.68& & 279.20& 257.85\\ 2000&& 126.83& 130.19& & 282.30& 258.79\\ 2001&& 127.13& 130.68& & 285.22& 259.69\\ 2002&& 127.40& 131.16& & 288.02& 260.54\\ 2003&& 127.63& 131.62& & 290.73& 261.35\\ 2004&& 127.73& 132.07& & 293.39& 262.12\\ 2005&& 127.75& 132.05& & 296.12& 262.84\\ 2006&& 127.75& 132.92& & 298.93& 263.53\\ 2007&& 127.76& 133.33& & 301.90& 264.18\\ 2008&& 127.69& 133.73& & 304.72& 264.80\\ 2009&& 127.55& 134.11& & 307.37& 265.38\\ 2010&& 127.59& 134.48& & 309.76& 265.93\\ 2011&& 127.83& 134.84& & 312.02& 266.45\\ 2012&& 127.55& 135.18& & 314.28& 266.95\\ 2013&& 127.33& 135.52& & 316.48& 267.41\\ 2014&& 127.12& 135.84& & 318.79& 267.85\\ 2015&& 126.98& 136.15& & 321.08& 268.27\\ 2016&& 126.90& 136.46& & 323.30& 268.87\\ \hline \end{array} \]

グラフでは

Malthus のモデルに比べて,日本の人口予測はかなり精度が向上した.一方米国は逆に曲線が外れてしまっている.しかし値で見れば,1988年までの予測は前回よりよく当てはまっている.

今回は最初の3年からパラメータを直接求めたが,10年ほどの期間でよりよく当てはまるパラメータを選べば,さらに長期の予測ができるらしい.

 

問題点

パラメータの選び方がかなり重要である.

また,過去の実測データから,せっかく設定した上限を,いまの実際の人口が超えてしまっている.

 

とりあえず人口モデルについてはここまで.
 

参考文献

『微分方程式で数学モデルを作ろう』日本評論社
デヴィッド・バージェス/モラグ・ボリー 著
垣田髙夫/大町比佐栄 訳


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