Stirlingの公式(スターリング――)


Stirling の公式(Stirling の近似)は,$n!$ の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその一つ,
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]
についてのメモ.

なお,今回の内容は 大阪大学 数学科 挑戦枠 の2015入試の問題 を改題したものを利用している.

スポンサーリンク

この記事では,2つの数列 $\{a_n\}$,$\{b_n\}~(n=1,2,\ldots)$ を
\[
a_n = \frac{n!}{\sqrt{n}n^ne^{-n}}~~,~~~~b_n = \frac{4^{n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}
\]
と定める.また,次の2つの記事の内容を利用する(利用しなくてもできる).
1.  Wallis 積分
2.  対数関数の Maclaurin 展開

Lemma 1.1
\[
\lim_{n \to \infty}b_n = \sqrt{\pi}
\]
証明

Lemma 1.2
$ 2 $ 以上の自然数 $ n $ と $0 < x < 1$ に対して \[ \frac{x^n}{n} > \frac{x^{n+1}}{n+1}
\]
が成り立つ.
証明

コメント

Cor 1.7(Stirlingの公式)
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]
が成り立つ.ただし,$a \sim b$ は
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{a}{b} = 1
\]
を意味するものとする.
証明


スポンサーリンク