Stirlingの公式(スターリング――)


Stirling の公式(Stirling の近似)は,n! の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその一つ,

    \[ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \]

についてのメモ.

なお,今回の内容は 大阪大学 数学科 挑戦枠 の2015入試の問題 を改題したものを利用している.

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この記事では,2つの数列 \{a_n\},\{b_n\}~(n=1,2,\ldots)

    \[ a_n = \frac{n!}{\sqrt{n}n^ne^{-n}}~~,~~~~b_n = \frac{4^{n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!} \]

と定める.また,次の2つの記事の内容を利用する(利用しなくてもできる).
1.  Wallis 積分
2.  対数関数の Maclaurin 展開

Lemma 1.1

    \[ \lim_{n \to \infty}b_n = \sqrt{\pi} \]

証明

Lemma 1.2
2 以上の自然数 n0 < x < 1 に対して

    \[ \frac{x^n}{n} > \frac{x^{n+1}}{n+1} \]

が成り立つ.

証明

コメント


Lemma 1.3
0 < x < 1 に対し

    \[ x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} < \log{(1+x)} < x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.4
n = 2,3,\ldots に対して

    \[ 0 < \log{\frac{a_n}{a_{n+1}}} < \frac{1}{2n(n+1)} \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.5

    \[ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{a_{2n}} = 1 \]

証明

Th 1.6

    \[ 	\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2\pi} \]

証明

Cor 1.7(Stirlingの公式)

    \[ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \]

が成り立つ.ただし,a \sim b

    \[ \lim_{n \to \infty}\frac{a}{b} = 1 \]

を意味するものとする.

証明


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