積分メモ#3


Result
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}=\frac{2\pi}{ab}~~~~~(ab \neq 0)
\]
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導出

この被積分関数は $x = \frac{\pi}{2}~,~~\frac{3}{2}\pi$ で不連続であるから,このまま積分することは危険である.まずは連続な区間での不定積分
\[
\int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}
\]
を求める.変数変換 $t = \tan{x}$ を考える.$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ であるから
\begin{eqnarray*}
\int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \int \frac{1}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \cdot \cos^2{x}\,dt \\
& = & \int \frac{1}{a^2 + b^2\tan^2{x}}\,dt \\
& = & \int \frac{1}{a^2 + b^2t^2}\,dt \\
& = & \frac{1}{b^2}\int\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 + t^2}\,dt
\end{eqnarray*}

と変形できる.さらにここから,変数変換 $t = \frac{a}{b}\tan{u}$ を考える.$\frac{dt}{du} = \frac{a}{b}(1 + \tan^2{u})$ であるから

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{b^2}\int\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 + t^2}\,dt & = & \frac{1}{b^2}\int\frac{1}{(\frac{a}{b})^2(1 + \tan^2{u})}\cdot \frac{a}{b}(1 + \tan^2{u}),du \\
& = & \frac{1}{b^2} \int \frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\,du \\
& = & \frac{1}{ab}\int\,du \\
& = & \frac{1}{ab}u + C
\end{eqnarray*}

である.ただし,$C$ は積分定数.最後に変数を戻す.

\[
t = \frac{a}{b}\tan{u}
\]
より
\[
u = \tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}t\right)}
\]
であって,さらに $t = \tan{x}$ より
\[
u = \tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}
\]
である.したがって,求める不定積分は
\[
\int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} = \frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)} + C
\]
を得る.


定積分を求めよう.不連続な点で分けて

\begin{eqnarray*}
& & \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\
& = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} + \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}
\end{eqnarray*}

とする.それぞれ広義積分の定義に戻って考えると,第1項目は

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} – 0} \int_{0}^{R} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\
& = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} – 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_0^R \\
& = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} – 0}\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{R}\right)}\\
& = & \frac{\pi}{2ab}
\end{eqnarray*}

である.第2項目,第3項目も同様に計算するが,第2項目は上下端どちらも極限をとることに注意.

\begin{eqnarray*}
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}
& = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi – 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0} \int_{L}^{R} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\
& = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi – 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_L^R \\
& = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi – 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0}\frac{1}{ab}\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{R}\right)-\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{L}\right)}}\right\}\\
& = & \frac{\pi}{2ab} – \left( – \frac{\pi}{2ab} \right)\\
& = & \frac{\pi}{ab}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0} \int_{L}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\
& = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_L^{2\pi} \\
& = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0}-\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{L}\right)}\\
& = & -\left(-\frac{\pi}{2ab}\right)\\
& = & \frac{\pi}{2ab}
\end{eqnarray*}

さて,以上の結果から,求める定積分の値
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}=\frac{\pi}{2ab} + \frac{\pi}{ab} + \frac{\pi}{2ab}=\frac{2\pi}{ab}~~~~~(ab \neq 0)
\]
を得る.



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