積分メモ#3


Result

    \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}=\frac{2\pi}{ab}~~~~~(ab \neq 0) \]

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導出

この被積分関数は x = \frac{\pi}{2}~,~~\frac{3}{2}\pi で不連続であるから,このまま積分することは危険である.まずは連続な区間での不定積分

    \[ \int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \]

を求める.変数変換 t = \tan{x} を考える.\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}} であるから

    \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \int \frac{1}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \cdot \cos^2{x}\,dt \\ & = & \int \frac{1}{a^2 + b^2\tan^2{x}}\,dt \\ & = & \int \frac{1}{a^2 + b^2t^2}\,dt \\ & = & \frac{1}{b^2}\int\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 + t^2}\,dt \end{eqnarray*}

と変形できる.さらにここから,変数変換 t = \frac{a}{b}\tan{u} を考える.\frac{dt}{du} = \frac{a}{b}(1 + \tan^2{u}) であるから

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{b^2}\int\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2 + t^2}\,dt & = & \frac{1}{b^2}\int\frac{1}{(\frac{a}{b})^2(1 + \tan^2{u})}\cdot \frac{a}{b}(1 + \tan^2{u}),du \\ & = & \frac{1}{b^2} \int \frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\,du \\ & = & \frac{1}{ab}\int\,du \\ & = & \frac{1}{ab}u + C \end{eqnarray*}

である.ただし,C は積分定数.最後に変数を戻す.

    \[ t = \frac{a}{b}\tan{u} \]

より

    \[ u = \tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}t\right)} \]

であって,さらに t = \tan{x} より

    \[ u = \tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)} \]

である.したがって,求める不定積分は

    \[ \int \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} = \frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)} + C \]

を得る.


定積分を求めよう.不連続な点で分けて

    \begin{eqnarray*} & & \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} + \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \end{eqnarray*}

とする.それぞれ広義積分の定義に戻って考えると,第1項目は

    \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} - 0} \int_{0}^{R} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\ & = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} - 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_0^R \\   & = & \lim_{R \to \frac{\pi}{2} - 0}\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{R}\right)}\\ & = & \frac{\pi}{2ab} \end{eqnarray*}

である.第2項目,第3項目も同様に計算するが,第2項目は上下端どちらも極限をとることに注意.

    \begin{eqnarray*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}  & = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi - 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0} \int_{L}^{R} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\ & = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi - 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_L^R \\   & = & \lim_{\scriptstyle R \to \frac{3}{2}\pi - 0 \atop \scriptstyle L \to \frac{\pi}{2} + 0}\frac{1}{ab}\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{R}\right)-\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{L}\right)}}\right\}\\ & = & \frac{\pi}{2ab} - \left( - \frac{\pi}{2ab} \right)\\ & = & \frac{\pi}{ab} \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} & = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0} \int_{L}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}} \\ & = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0}\biggl[\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{x}\right)}\biggr]_L^{2\pi} \\   & = & \lim_{L \to \frac{3}{2}\pi + 0}-\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\tan{L}\right)}\\ & = & -\left(-\frac{\pi}{2ab}\right)\\ & = & \frac{\pi}{2ab} \end{eqnarray*}

さて,以上の結果から,求める定積分の値

    \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}=\frac{\pi}{2ab} + \frac{\pi}{ab} + \frac{\pi}{2ab}=\frac{2\pi}{ab}~~~~~(ab \neq 0) \]

を得る.



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