無限級数メモ#4 (n番目のBell数)


$k = 0,1,2,\ldots$ に対して,無限級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!}
\]
の値を求めてみる.

スポンサーリンク
Question
$k = 0,1,2,\ldots$ に対して,無限級数
\[
A_k = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!}
\]
の値を考える.次の問いに答えよ.ただし,形式的に $0^0=1$ であるとし,また
\[
A_0 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e
\]
は既知であるとする(→指数関数のMaclaurin展開).

(1) $A_0 = A_1$ であることを示せ.また,$A_2,A_3$ の値を求めよ.

(2) 数列 $A_{k+1}$ を $A_k$ を用いて表せ.

(3) 次の無限級数の値を求めよ.
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^8}{n!}
\]

解答

$(1)$ 解答


$(2)$ 解答



$(3)$ 解答


ベル数

$n$ 個のものを複数のグループに分ける方法の総数を $B_n$ で表す.数列 $\{B_n\}$ は漸化式
\[
B_0 = 1,~~~B_{k+1} = \sum_{j=0}^{k}{}_{k}{\rm C}_{j}B_j
\]
を満たす.$B_n$ を $n$ 番目の ベル数 という.

たとえば3個のもの $\{a,b,c\}$ をグループに分けるときは

\[
\{a\}~,~\{b\}~,~\{c\}
\]
\[
\{a\}~,~\{b,c\}
\]
\[
\{b\}~,~\{a,c\}
\]
\[
\{c\}~,~\{a,b\}
\]
\[
\{a,b,c\}
\]

の5通りあるから,$B_3 = 5$ である.$B_0$ については「分けることができない」の1通り,などと考える.組み合わせや順列と同じである.先の結果から,$n$ 個のものを複数のグループに分ける方法の総数を $B_k$ は
\[
B_k = \frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!}
\]
で与えられる.


スポンサーリンク