無限級数メモ#4 (n番目のBell数)


k = 0,1,2,\ldots に対して,無限級数

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!} \]

の値を求めてみる.

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Question
k = 0,1,2,\ldots に対して,無限級数

    \[ A_k = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!} \]

の値を考える.次の問いに答えよ.ただし,形式的に 0^0=1 であるとし,また

    \[ A_0 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e  \]

は既知であるとする(→指数関数のMaclaurin展開).

(1) A_0 = A_1 であることを示せ.また,A_2,A_3 の値を求めよ.

(2) 数列 A_{k+1}A_k を用いて表せ.

(3) 次の無限級数の値を求めよ.

    \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^8}{n!} \]

解答

(1) 解答


(2) 解答



(3) 解答


ベル数

n 個のものを複数のグループに分ける方法の総数を B_n で表す.数列 \{B_n\} は漸化式

    \[ B_0 = 1,~~~B_{k+1} = \sum_{j=0}^{k}{}_{k}{\rm C}_{j}B_j  \]

を満たす.B_nn 番目の ベル数 という.

たとえば3個のもの \{a,b,c\} をグループに分けるときは

    \[ \{a\}~,~\{b\}~,~\{c\} \]

    \[ \{a\}~,~\{b,c\} \]

    \[ \{b\}~,~\{a,c\} \]

    \[ \{c\}~,~\{a,b\} \]

    \[ \{a,b,c\} \]

の5通りあるから,B_3 = 5 である.B_0 については「分けることができない」の1通り,などと考える.組み合わせや順列と同じである.先の結果から,n 個のものを複数のグループに分ける方法の総数を B_k

    \[ B_k = \frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{n!} \]

で与えられる.


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