確率分布の期待値と分散


確率分布と,その期待値・分散といった指標の定義についてのメモ.本当に詳細な定義をしようとすると,測度論が必要な場面もあるので,素朴な定義からのスタートで.

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確率分布

Def 1.1
$n$ 個の値 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ をとる変数 $X$ に対して,$X = x_i$ となる確率 $p_i$ が与えられているとき,$X$ を 確率変数 という.また,$p(x_i) = p_i$ を満たすような確率 $p_i$ と確率変数 $X$ との対応関係 $p$ を 確率分布 という.ただし,$x \notin X$ のときは $p(x) = 0$ とする.
コメント

条件 c を満たす確率を単に $p(c)$ と表す.たとえば $X = x_i$ となる確率は
\[
P(X = x_i) = p_i = p(x_i)
\]
などと表すことができる.

コメント

Prop 1.3
\[
\mathbb{E}[1] = 1.
\]
証明

Prop 1.4(期待値の線形性)
関数 $\varphi, \psi : X \longrightarrow \mathbb{R}$ と $a,b \in \mathbb{R}$ について,次が成り立つ.
\[
\mathbb{E}[a\varphi + b\psi ] = a\mathbb{E}[\varphi ] + b \mathbb{E}[\psi ]
\]
証明

Def 1.5
$p$ を確率分布とする.関数 $\varphi:X \longrightarrow \mathbb{R}$ の 分散 を ${\rm var}[\varphi]$ と表し,
\[
{\rm var}[\varphi] = \mathbb{E}\bigl[(\varphi – \mathbb{E}[\varphi])^2\bigr]
\]
で定める.
コメント

Th 1.6
確率分布 $p$ に対して,次が成り立つ.
\[
{\rm var}[\varphi] = \mathbb{E}[\varphi^2] – \mathbb{E}[\varphi]^2
\]
証明

とくに断りがないときには,期待値・分散は $\varphi (x) = x$ の場合について考えるものとする.


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