相加相乗平均(AM-GM不等式)


高校数学の教科書では「相加平均と相乗平均の大小関係」などともよばれる AM-GM不等式
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}
\]
の帰納法による証明のメモ.

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2つの非負数 $a,b$ に対する
\[
\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}
\]
は基本的な不等式の証明プロセスで簡単に証明ができる.3つの非負数 $a,b,c$ に対する
\[
\frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}
\]
の証明も微分法の応用例としてよく見かけるが,より一般に,$n$ 個の非負数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対する
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}
\]
の証明はなかなかテクニカルである.証明自体は数多く知られていて,微分法を用いる証明方法は誘導があれば大学入試でも出題できるレベルであるが,シンプルな帰納法を基にした証明はなかなか見かけないような気がする.

今回紹介する証明は「微分や凸関数を使わない」「特殊な帰納法(forward-backward-induction とかいうもの)を使わない」という点でとくに気に入っている.Yasuhiro Uchida 氏の証明方法もその意味ではかなり好みなのだが,ここではより古い手法を紹介.

コメント

Lemma 1
$p_1,p_2,\cdots ,p_n$ を正の数とする.このとき
\[
p_1p_2\cdots p_n = 1 \quad \Longrightarrow \quad p_1 + p_2 + \cdots + p_n \geqq n
\]
が成り立つ.等号成立は $p_1 = p_2 = \cdots = p_n = 1$ のとき.
証明

Th 2(AM-GM不等式)
$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ を非負数とする.次の不等式が成り立つ.
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.
\]
また,等号成立は $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ のとき.
証明

Th 2 の証明からも判るように,Th 1 と Th 2 は同値な命題である.


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