[数III] 1.1 複素数の定義と性質


[数III] の 複素数の定義と性質についてのメモ.pdfで作成したテキストを投稿用に編集している.

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複素数の定義

2 乗して -1 になる数のひとつを記号 i で表す.すなわち

    \[ i^2 = -1 \]

あるいは

    \[ \sqrt{-1} = i \]

である.このような i虚数単位 という.x,\ y を実数とするとき,i を用いて

    \[ z = x+yi \]

の形で表される数を 複素数 という.また,xz実部yz虚部 という.y = 0 のとき z実数 といい,実数でない複素数(すなわち y \neq 0 のときの z)を 虚数,とくに x = 0 である虚数を 純虚数 という.(*注)

虚部の符号を変えた複素数

    \[ \overline{z} = x-yi \]

を複素数 z共役な複素数 という.ここで,\overline{\overline{z}} = z であり,実数 a の共役は a 自身である.すなわち \overline{a} = a

 

複素数の相等  x,\ y,\ a,\ b を実数とする.2つの複素数 z = x + yiw = a + bi について

    \[ z = w \quad \Longleftrightarrow\quad x + yi = a+bi \quad \Longleftrightarrow \quad x=a~\&~y=b \]

であり(\& は「かつ」の意味),特に

    \[ z = x+yi = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = y = 0 \]

が成り立つ.

 

複素数の四則演算  2つの複素数 z = x + yiw = a + bi に対して
1) z + w = (x + yi) + (a + bi) = x + a + (y+b)i
2) z - w = (x + yi) - (a + bi) = x - a + (y-b)i
3) zw = (x + yi)(a + bi) = ax - by + (bx+ay)i
4) \displaystyle{\frac{z}{w} = \frac{x + yi}{a + bi} = \frac{ax + by + (bx-ay)i}{a^2+b^2}}\quad(w \neq 0)
が成り立つ.ただし 4) の2つ目の等号は分母分子に a - bi をかけて整理した.

 

Prop 1.1
複素数 zw に対して次が成り立つ.ただし (4) では w \neq 0
1) \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}
2) \overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}
3) \overline{zw} = \overline{z} \cdot \overline{w}
4) \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}
5) \overline{(z^n)} = (\overline{z})^n
証明

 

Th 1.2
1) z が実数である \quad \longleftrightarrow \quad \overline{z} = z .
2) z が純虚数である \iff \overline{z} = -z かつ z \neq 0 .
証明

 

Th 1.3
実数係数 n 次方程式

    \[ \sum_{k = 0}^{n}a_kx^k = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0 \]

(ただし a_k は実数)が虚数 z を解に持つとき,その共役複素数 \overline{z} もこの方程式の解である.

証明

 

Def 1.4(複素数の絶対値)
複素数 z = x+iy に対して

    \[ |z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2} \]

を複素数 z絶対値 という.


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