n項間の漸化式#3


n項間の漸化式#1で最後に載せた問題の解答.まずは改めて問題提示をする.

漸化式

    \[ a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} - a_n, \quad a_1 = 0 , \ a_2 = -1 , \ a_3 = 1 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を求めよ.

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1つの解答例として,上の記事と同様に線形代数(行列)を使った解法を考えるが,実は対角化が出来ないことに気がつく.
そこで,対角化の代わりに Jordan 標準形への変形を考える.

Fact 1
任意の正方行列は対角化可能とは限らないが,Jordan 標準形への相似変換は可能である.

解答例1

数日中にブログ記事として書き直すが,一時的に PDF ファイルを置いておく.
rrQ2_ans

解答例2

実は適切な置き換えで高校数学の範囲でも答えを出すことができる.
こちらもせっかくなので近日中に書く予定.


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