無限級数・広義積分に関する定理#2


無限級数・広義積分の計算でよく用いる定理をまとめたノート#2.

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複素積分と留数定理

 
Theorem 4.1(Cauchy-Goursat)

$f(z)$ を領域 $D$ で正則な関数とする.単純閉曲線 $C$ に囲まれた領域が $D$ に含まれるとき
\[
\oint_{C}f(z)\,dz = 0
\]
が成り立つ.

 

この定理はCauchyの積分定理ともよばれる.

 
Theorem 4.2(Cauchyの積分公式)

$f(z)$ を円 $C$ およびその内部を含む開集合で正則な関数とする.正の整数 $n$ と $C$ の内部の点 $z_0$ に対して
\[
f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_{C} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz
\]
が成り立つ.

 
Define 4.3(留数)

$a \in \mathbb{C}$ とする.$a$ を除く $a$ の近傍で正則な関数 $f(z)$ が
\[
f(z) = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z-a)^2}+ \frac{a_{-1}}{z-a} + a_0 + a_1(z-a) + a_2(z-a)^2+\cdots
\]
と Laurent 展開されるとき,$1/(z-a)$ の係数 $a_{-1}$ を $f(z)$ の $a$ における留数といい
\[
\underset{z=a}{\textrm{Res}}\,f(z), \quad \textrm{Res}[f,a]
\]
などと表す.

 
Theorem 4.4(留数の計算)

点 $a$ が $f(z)$ の $m$ 位の極であるとき
\[
\underset{z=a}{\textrm{Res}}\,f(z) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\biggl((z-a)^mf(z)\biggr)
\]
が成り立つ.

 
Theorem 4.5(留数定理)

$D$ を単純閉曲線 $C$ で囲まれた領域とする.$f(z)$ が $D$ に含まれる孤立特異点 $a_1,a_2,\dots,a_n$ を除いて $D \cup C$ で正則であるとき
\[
\oint_{C}f(z)\,dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,f(z)
\]
が成り立つ.

 

実積分への応用

 
Theorem 4.6(三角関数を含む定積分)

\[
\int_{0}^{2\pi}f(\cos{\theta},\sin{\theta})\,d\theta = \oint_{|z|=1}f\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right), \, \frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\frac{1}{iz}\,dz
\]

 
Corollary 4.7(広義積分への応用I)

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 方程式 $Q(x) = 0$ は実数解を持たない.
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 2.$
  • このとき,$Q(z)$ の上半平面 $\{\textrm{Im}(z) > 0\}$ に含まれる零点 $a_1 , a_2 , \dots , a_n$ に対して
    \[
    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2 \pi i \sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\frac{P(z)}{Q(z)}
    \]
    が成り立つ.

     
    Corollary 4.8(広義積分への応用II)

    $P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 方程式 $Q(x) = 0$ は実数解を持たない.
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 1.$
  • このとき,$Q(z)$ の上半平面 $\{\textrm{Im}(z) > 0\}$ に含まれる零点 $a_1 , a_2 , \dots , a_n$ と $\lambda > 0$ に対して

    $$
    \begin{align*}
    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\cos{x}\,dx &= \textrm{Re}\left(2 \pi i \sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\left(\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i\lambda z}\right)\right), \\
    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\sin{x}\,dx &= \textrm{Im}\left(2 \pi i \sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\left(\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i\lambda z}\right)\right)
    \end{align*}
    $$

    が成り立つ.

     
    Corollary 4.9(広義積分への応用III)

    $P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 方程式 $Q(x) = 0$ は $x \geqq 0$ に実数解を持たない.
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 1.$
  • このとき,$Q(z)$ の原点及び実軸を除いた複素平面 $\mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に含まれる零点 $a_1 , a_2 , \dots , a_n$ と $0 < \alpha < 1$ に対して
    \[
    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}x^{-\alpha}\,dx = \frac{2 \pi i}{1-e^{-\alpha \pi i}} \sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\left(\frac{P(z)}{Q(z)}z^{-\alpha}\right)
    \]
    が成り立つ.

     
    Corollary 4.10(広義積分への応用IV)

    $P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 方程式 $Q(x) = 0$ は $x \geqq 0$ に実数解を持たない.
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 2.$
  • このとき,$Q(z)$ の原点及び実軸を除いた複素平面 $\mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ に含まれる零点 $a_1 , a_2 , \dots , a_n$ と $0 < \alpha < 1$ に対して
    \[
    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\log{x}\,dx =-\frac{1}{2}\textrm{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\left(\frac{P(z)}{Q(z)}(\log{z})^2\right)\right)
    \]
    が成り立つ.

     

    無限級数への応用

     
    Lemma 4.11

    $a \in \mathbb{C}$ とする.$0 \leqq R_1 < R_2$ に対して,領域 $D = \{z \mid R_1 < |z-a| < R_2\}$ で正則な関数 $f(z)$ が
    \[
    f(z) = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z-a)^2}+ \frac{a_{-1}}{z-a} + a_0 + a_1(z-a) + a_2(z-a)^2+\cdots
    \]
    と Laurent 展開されるとき,任意の $R_1 < R < R_2$ に対して
    \[
    \sum_{n =-\infty}^{\infty}|a_n|^2R^{2n} = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(a + Re^{i\theta})|^2\,d\theta
    \]
    が成り立つ.

     

    この結果は Gutzmer の不等式を示すために用いられる.

     
    Corollary 4.12(無限級数への応用I)

    $P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 方程式 $Q(x) = 0$ は実数解を持たない.
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 2.$
  • このとき,$f(z) = P(z)/Q(z)$ の極 $a_1 , a_2 , \dots , a_\ell$ に対して

    $$
    \begin{align*}
    \sum_{n =-\infty}^{\infty}f(n) &=-\sum_{k=1}^{\ell}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\biggl(\pi f(z)\cot{\pi z}\biggr), \\
    \sum_{n =-\infty}^{\infty}(-1)^nf(n) &=-\sum_{k=1}^{\ell}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\biggl(\frac{\pi f(z)}{\sin{\pi z}}\biggr)
    \end{align*}
    $$

    が成り立つ.

     
    Corollary 4.13(無限級数への応用II)

    $P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で,次の条件を満たすとする:

  • 任意の整数 $n$ に対して方程式 $Q(n+1/2) \neq 0.$
  • $\textrm{deg}Q-\textrm{deg}P \leqq 2.$
  • このとき,$f(z) = P(z)/Q(z)$ の極 $a_1 , a_2 , \dots , a_\ell$ に対して

    $$
    \begin{align*}
    \sum_{n =-\infty}^{\infty}f\left(n+\frac{1}{2}\right) &= \sum_{k=1}^{\ell}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\biggl(\pi f(z)\tan{\pi z}\biggr), \\
    \sum_{n =-\infty}^{\infty}(-1)^nf\left(n+\frac{1}{2}\right) &= \sum_{k=1}^{\ell}\underset{z=a_k}{\textrm{Res}}\,\biggl(\frac{\pi f(z)}{\cos{\pi z}}\biggr)
    \end{align*}
    $$

    が成り立つ.

     

    20190707 更新


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