無限級数メモ#2
無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n}
\]
の値を求めてみよう．誘導付きの問題形式にしてある．また，他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう，拡張した形で計算を行う．
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無限級数メモ#1
以前に知人が数学書の中から見つけた無限級数に関するメモ．出典はおそらくRamanujan（ラマヌジャン）だったと思われる．Yahoo知恵袋 などで教えていただいた解答とともに残しておく．
Question 1
\begin{eqnarray*}
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) \\
+ \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\end{eqnarray*}
を示せ．
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) \\
+ \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\end{eqnarray*}
を示せ．
Gauss関数（ガウス――）
確率論，統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と，Gauss積分
\[
\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx
\]
についてのメモ．Gauss積分は広義積分（大学レベル）であり，大学生の知識で簡単に計算できてしまうが，高校数学の範囲に制限して（無茶ともいう）考えてみた．かなり怪しい箇所が散見しているが，とりあえずよしとする．
Wallis積分（ウォリス――）
大学受験でもよくみかける Wallis積分（$\sin^n{x}$ や $\cos^n{x}$ の定積分）に関するメモ．Th1.2 や Th1.4 は 自分で導くのも良い演習になるかもしれない．Cor1.3は高校数学の範囲の中で留めようとした結果，証明が煩雑になってしまった．Th1.5 は発想の勝利．