線形代数

線形代数~センター試験風~

なんとなく作ってみた,センター試験を真似たフォーマットの線形代数の問題.

もうすぐセンター試験も終わってしまうんだな,と思って.

線形代数.pdf

記事に数式を埋め込むよりもpdfとして差し込む方がキレイだと感じた.
最近のスマートフォンならその方が読み込みも速いだろうし,pdfを読めないことも少なくなっているだろうし.

これまでの内容も,pdfを並載しようかと真剣に悩んでいる.

逆行列の公式#1

$n$ 次正方行列 $P$ が正則であるとき,その逆行列をブロック分解した形で求める方法についてのメモ.手計算では役に立つことは無いだろうが,対象となる行列 $P$ が対称行列であったりすると,応用の幅が広がる.確率統計,機械工学,制御系統のテキストには類似した公式が載っているようだ.なお,今回は
『Pattern Recognition and Machine Learning』(著) Christopher M. Bishop で見かけたものである.触れたことがある人には「PRML」という略称で通じるらしい.

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行列の上三角化

$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と,対応する固有空間の次元が一致するとき(あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき),$A$ は対角化可能(diagonalizable)である.一方,$A$ が対角化可能でないときでも,$A$ を上三角化(triangular)することができる.すなわち
\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1&&&&\\
&\lambda_2&&*&\\
&&\ddots&\\
&0&&\ddots&\\
&&&&\lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する.ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値.

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが,実際に計算した例を見ることは少ない.理由は簡単で,難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば,それは上三角行列にほかならないからである.

今回はもし,なんらかの理由で正則行列 $P$ によって Jordan 標準形ではない上三角行列を構成する必要がある場合のための計算メモ.なお,$P$ は正則行列というだけではなく,直交行列まで制限することができるが,今回はやらない.

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n項間の漸化式#1

$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.2項,3項間はチャート式にも載っているレベル.今回は 4項間漸化式とした.なお,線形代数(大学数学)の問題として用意したが,高校数学の範囲で答えを出されてしまった.偉大な知人に敬礼しつつ,改めて問題提示をする.

漸化式
\[
a_{n+3} =-2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n-1, \quad a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めてみよう.線形代数を用いた誘導を付けている.

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