高校数学

Maclaurin展開#2 対数関数

自然対数関数 \log{(1+x)}-1 < x \leqq 1 において

    \[ \log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n \]

の形で表すことができる.これが \log{(1+x)} の Maclaurin(マクローリン)展開(もしくは x=0 の周りでの Taylor(テイラー)展開)である.高校数学の範囲で x \geqq 0 の範囲 について示してみる.また,その結果を利用して, Mercator 級数(メルカトル――)

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \]

の値を求める.

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Basel問題(バーゼル――)

Basel 問題は 自然数の平方数の逆数すべての和

    \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \]

を求める問題である.この級数の和が \frac{\pi^2}{6} に収束することを,高校数学の範囲で示す方法についてのメモ.

なお,今回の手法については 日本女子大学 理学部 数学科 の2003推薦入試の問題 を改題したものを利用している.

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