数学III

Stirlingの公式

Stirling の公式(Stirling の近似)は,$n!$ の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその1つである

\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]

を導出する方法についてのメモ.

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Mercator級数

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \cdots
\]
は Mercator級数 と呼ばれ,その値は $\log{2}$ に収束することが知られている.今回はMercator級数と関連する級数の値の導出について,いくつかの手順をまとめる.

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Basel問題

Basel 問題は自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を求める問題である.この級数の和が $\pi^2/6$ に収束することを高校数学の範囲で示す方法についてまとめる.

補足(click)

Basel問題の一般化の1つとして,Riemann(リーマン)によって
\[
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \qquad \text{( $s$ は複素数)}
\]
が与えられている.この関数はRiemann zeta関数とよばれ,$s$ が実数であれば $s > 1$ で収束することが知られている.Basel 問題は $s = 2$ , すなわち $\zeta(2)$ の値を求める問題である.

 

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Leibniz の公式

円周率と無限和に関する等式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
を Leibnizの公式 という.ここでは上の式をLeibnizの公式,左辺の級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots
\]
をGregory-Leibniz級数とよぶことにする.今回はLeibnizの公式と関連する級数の値の導出について,いくつかの手法をまとめる.

補足(click)

GregoryはLeibnizと同じ時期に,上の等式を独立に発見したとされるが,実はその300年前にMadhavaによって発見されていたことから,左辺をMādhavaの級数とよぶこともある.

また,Leibnizの公式は次の法則をさす場合がある:

Theorem(Leibniz Rule)

$n$ 回微分可能な関数 $f(x), \, g(x)$ に対して
\[
\frac{d^n}{dx^n} \biggl(f(x)g(x)\biggr) = \sum_{r=0}^{n}{}_{n}\textrm{C}_{r}f(x)^{r}g(x)^{n-r}
\]
が成り立つ.

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積分メモ#2

今回は対称性をもつ連続関数の性質を用いた定積分についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求める.

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Maclaurin展開#1 指数関数

指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表すことができる.ただしここでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える.この右辺の級数を得ることを,指数関数 $e^x$ を Maclaurin(マクローリン)展開(あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開)する という.上の等式は任意の実数で成り立つことが知られているが,今回は $x \geqq 0$ の場合に成り立つことを高校数学の範囲で示す手順についてのメモ.

 

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積分メモ#1

今回は次の定積分を力技で求めたときのメモ.部分分数分解の練習になった.$\tan^{-1}{x}$ の記法は使わずに,すべて $x = \tan{t}$ のような変数変換を用いている.

Question1

数列 $\{a_n\} \quad (n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}
\]
で定める.$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ.

 

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