数学III

極限メモ#1

今回は,極限

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} \]

の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で

    \[ {}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \]

である.この極限を求める際にある計算を利用するため,類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない.以下,誘導小問と解答を載せる.

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Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)

指数関数 e^x

    \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

の形で表すことができる.ただし,形式的に

    \[ 0! = 1,~~~~0^0 = 1 \]

としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは x=0 の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に(x \geqq 0 の範囲で)やってみる.
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Gauss関数(ガウス――)

確率論,統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と,Gauss積分

    \[  \lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \]

についてのメモ.Gauss積分は広義積分(大学レベル)であり,大学生の知識で簡単に計算できてしまうが,高校数学の範囲に制限して(無茶ともいう)考えてみた.かなり怪しい箇所が散見しているが,とりあえずよしとする.

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