高校数学

極限メモ#3(x^x の極限)

今回は次の3つの極限

    \[ \lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}~,~~~\lim_{x \to +0} x\log{x}~,~~~\lim_{x \to +0} x^x \]

について考える.はじめの2つの極限は既知としてよい(必要に応じて用いてよい)とされていることも多いが,今回はあえて高校数学の範囲で納得できるような証明を与えてみる.もしかしたら循環論法になってしまっている箇所もあるかもしれないが,見つけたときはコメント・Twitter などで意見を貰えればありがたい.

なお,x \to +0x を 0 より大きい値から近づけていくことを表す.人によっては x \downarrow 0 などと表記することもあるようだが,私の場合は x \to +0 の記法を用いることにする.恒例の誘導問題つき記事である.

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暇つぶし問題演習#1

とくに分野や内容に縛られず,なんとなく思いついた問題のメモ.ありがちな問題設定になることもあるだろうし,難易度の差もかなり出てくるだろうが,適当に載せていく.もっとも中身のない記事になる予感.

Question 1
放物線 P:y = x^2 + (2\sqrt{2} - 1)x + 2 ,円 C:x^2 + y^2 = 4,点 A (-\sqrt{2},~\sqrt{2}) , 点 B (0,2) として,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 Px = -\sqrt{2} における接線の方程式を求めよ.

(2) 放物線 P と円 C ,2点 A,B を同じ座標平面上に図示せよ.

(3) 直線 OA , 直線 OB , 円 C で囲まれた扇形の面積を求めよ.ここで,O は原点 (0,0) である.

(4) 放物線 P と直線 AB によって囲まれた領域の面積を求めよ.

(5) 放物線 P と円 C によって囲まれた領域の面積を求めよ.

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極限メモ#1

今回は,極限

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} \]

の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で

    \[ {}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \]

である.この極限を求める際にある計算を利用するため,類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない.以下,誘導小問と解答を載せる.

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Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)

指数関数 e^x

    \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

の形で表すことができる.ただし,形式的に

    \[ 0! = 1,~~~~0^0 = 1 \]

としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは x=0 の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に(x \geqq 0 の範囲で)やってみる.
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