高校数学

2017年4月14日

暇つぶし問題演習#1

TMyuki 数学, 数学IIB, 高校数学 0 Comments

とくに分野や内容に縛られず，なんとなく思いついた問題のメモ．ありがちな問題設定になることもあるだろうし，難易度の差もかなり出てくるだろうが，適当に載せていく．もっとも中身のない記事になる予感．

Question 1

放物線 $P:y = x^2 + (2\sqrt{2} - 1)x + 2$ ，円 $C:x^2 + y^2 = 4$ ，点 A $(-\sqrt{2},~\sqrt{2})$ , 点 B $(0,2)$ として，次の問いに答えよ．

(1) 放物線 $P$ の $x = -\sqrt{2}$ における接線の方程式を求めよ．

(2) 放物線 $P$ と円 $C$ ，2点 A，B を同じ座標平面上に図示せよ．

(3) 直線 OA , 直線 OB , 円 $C$ で囲まれた扇形の面積を求めよ．ここで，O は原点 $(0,0)$ である．

(4) 放物線 $P$ と直線 AB によって囲まれた領域の面積を求めよ．

(5) 放物線 $P$ と円 $C$ によって囲まれた領域の面積を求めよ．

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2017年4月14日

極限メモ#2〈Newton法〉（ニュートン――）

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方程式の解を求める数値計算手法を用いて平方根の値を求める数列の問題．はじめに漸化式が与えられる場合もあるが，今回はあえて漸化式を導出する過程も取り入れる．

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2017年4月11日

極限メモ#1

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 0 Comments

今回は，極限

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}$

の値を求める．ただし P は順列（permutation）の記号で

${}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

である．この極限を求める際にある計算を利用するため，類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない．以下，誘導小問と解答を載せる．

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2017年4月10日

n項間の漸化式#2

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前回の記事「n項間の漸化式#1」では線形代数を用いたが，高校数学で作られた知人の解答を載せておく．問題は

漸化式

$a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n - 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3$

で定められる数列 $\{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めよ．

である．以下の解答は隠しタグにしていないので，そのまま表示されることに注意．

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2017年4月8日

Maclaurin展開#1 指数関数（マクローリン――）

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 1 Comment

指数関数 $e^x$ は

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

の形で表すことができる．ただし，形式的に

$0! = 1,~~~~0^0 = 1$

としてある．

この無限級数を得ることを Maclaurin（マクローリン）展開する，あるいは $x=0$ の周りで Taylor（テイラー）展開するという．上の等式の証明は大学数学の内容だが，高校数学の範囲で限定的に（ $x \geqq 0$ の範囲で）やってみる．
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2017年4月7日

積分メモ#1

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Question

数列 $\{a_n\}~~(n = 1,2,3,\ldots)$ を

$a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}$

で定める． $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ．

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2017年4月6日

無限級数メモ#2

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無限級数

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},~~~~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n}$

の値を求めてみよう．誘導付きの問題形式にしてある．また，他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう，拡張した形で計算を行う．

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2017年4月6日

無限級数メモ#1

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 0 Comments

以前に知人が数学書の中から見つけた無限級数に関するメモ．出典はおそらくRamanujan（ラマヌジャン）だったと思われる．Yahoo知恵袋などで教えていただいた解答とともに残しておく．

Question 1

$\begin{eqnarray*} \log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) \\ + \left( \frac{1}{2\log{2}} - \frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} - \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}} \end{eqnarray*}$

を示せ．

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2017年4月5日

Gauss関数（ガウス――）

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確率論，統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と，Gauss積分

$\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$

についてのメモ．Gauss積分は広義積分（大学レベル）であり，大学生の知識で簡単に計算できてしまうが，高校数学の範囲に制限して（無茶ともいう）考えてみた．かなり怪しい箇所が散見しているが，とりあえずよしとする．

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2017年4月4日

Wallis積分（ウォリス――）

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大学受験でもよくみかける Wallis積分（ $\sin^n{x}$ や $\cos^n{x}$ の定積分）に関するメモ．Th1.2 や Th1.4 は自分で導くのも良い演習になるかもしれない．Cor1.3は高校数学の範囲の中で留めようとした結果，証明が煩雑になってしまった．Th1.5 は発想の勝利．

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