2017年4月17日

積分メモ#2

今回は対称性をもつ連続関数の性質を用いた定積分についての簡単なメモ．具体的には，次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求める．

2017年4月16日

パーフェクト・シャッフル#2

TMyuki マジック, 大学数学, 数学, 線形代数 0 Comments

前回の記事 “パーフェクト・シャッフル#1” の内容の補足と，そのあとに判った事実についてのメモ．まさかの続編．

2017年4月11日

極限メモ#1

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 0 Comments

今回は，極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
の値を求める．ただし P は順列（permutation）の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である．

2017年4月10日

n項間の漸化式#2

TMyuki 数学, 高校数学 2 Comments

前回の記事「n項間の漸化式#1」では漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を線形代数（大学数学）を用いて求めた．今回は一般的な手法ではないが，高校数学の議論だけで一般項を求めた解答についてのメモ．

2017年4月9日

n項間の漸化式#1

TMyuki 大学数学, 数学, 線形代数 1 Comment

$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える．

$2$ 項間，$3$ 項間の漸化式の解法はよく知られているが，今回は線形代数（大学数学）を用いて

\[
a_{n+3} = p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_n + s \tag{$\diamondsuit$}
\]

の形の $4$ 項間漸化式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める．

2017年4月8日

Maclaurin展開#1 指数関数

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 1 Comment

指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表すことができる．ただしここでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える．この右辺の級数を得ることを，指数関数 $e^x$ を Maclaurin（マクローリン）展開（あるいは $x=0$ の周りで Taylor（テイラー）展開）するという．上の等式は任意の実数で成り立つことが知られているが，今回は $x \geqq 0$ の場合に成り立つことを高校数学の範囲で示す手順についてのメモ．

2017年4月7日

積分メモ#1

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 0 Comments

今回は次の定積分を力技で求めたときのメモ．部分分数分解の練習になった．$\tan^{-1}{x}$ の記法は使わずに，すべて $x = \tan{t}$ のような変数変換を用いている．

Question1

数列 $\{a_n\} \quad (n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}
\]
で定める．$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ．

2017年4月6日

無限級数メモ#2

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 1 Comment

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} \qquad (a>0) \tag{$\clubsuit$}
\]
の値を高校数学の範囲で求めるための計算メモ．級数 $(\clubsuit)$ を求めるために，まず
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) \tag{$\heartsuit$}
\]
を考える．

2017年4月6日

無限級数メモ#1

TMyuki 数学, 数学III, 高校数学 0 Comments

出典は（おそらく）Ramanujan（ラマヌジャン）と思われる無限級数に関するメモ．

Question 1

\[
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\]

を示せ．

2017年4月5日