数学

暇つぶし問題演習#1

とくに分野や内容に縛られず,なんとなく思いついた問題のメモ.ありがちな問題設定になることもあるだろうし,難易度の差もかなり出てくるだろうが,適当に載せていく.もっとも中身のない記事になる予感.

Question 1
放物線 P:y = x^2 + (2\sqrt{2} - 1)x + 2 ,円 C:x^2 + y^2 = 4,点 A (-\sqrt{2},~\sqrt{2}) , 点 B (0,2) として,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 Px = -\sqrt{2} における接線の方程式を求めよ.

(2) 放物線 P と円 C ,2点 A,B を同じ座標平面上に図示せよ.

(3) 直線 OA , 直線 OB , 円 C で囲まれた扇形の面積を求めよ.ここで,O は原点 (0,0) である.

(4) 放物線 P と直線 AB によって囲まれた領域の面積を求めよ.

(5) 放物線 P と円 C によって囲まれた領域の面積を求めよ.

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極限メモ#1

今回は,極限

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} \]

の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で

    \[ {}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \]

である.この極限を求める際にある計算を利用するため,類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない.以下,誘導小問と解答を載せる.

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n項間の漸化式#1

n 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.2項,3項間はチャート式にも載っているレベル.今回は 4項間漸化式とした.なお,線形代数(大学数学)の問題として用意したが,高校数学の範囲で答えを出されてしまった.偉大な知人に敬礼しつつ,改めて問題提示をする.

漸化式

    \[ a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n - 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を求めてみよう.線形代数を用いた誘導を付けている.

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Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)

指数関数 e^x

    \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

の形で表すことができる.ただし,形式的に

    \[ 0! = 1,~~~~0^0 = 1 \]

としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは x=0 の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に(x \geqq 0 の範囲で)やってみる.
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