数学

積分メモ#2

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今回は連続関数の定積分の性質についての簡単なメモ．具体的には，次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求めてみる．

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極限メモ#1

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今回は，極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
の値を求める．ただし P は順列（permutation）の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である．この極限を求める際にある計算を利用するため，類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない．以下，誘導小問と解答を載せる．

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n項間の漸化式#2

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前回の記事「n項間の漸化式#1」では線形代数を用いたが，高校数学で作られた知人の解答を載せておく．問題は

漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めよ．

である．以下の解答は隠しタグにしていないので，そのまま表示されることに注意．

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n項間の漸化式#1

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$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える．2項，3項間はチャート式にも載っているレベル．今回は 4項間漸化式とした．なお，線形代数（大学数学）の問題として用意したが，高校数学の範囲で答えを出されてしまった．偉大な知人に敬礼しつつ，改めて問題提示をする．

漸化式
\[
a_{n+3} =-2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n-1, \quad a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めてみよう．線形代数を用いた誘導を付けている．

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Maclaurin展開#1 指数関数（マクローリン――）

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指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
の形で表すことができる．ただし，形式的に
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
としてある．

この無限級数を得ることを Maclaurin（マクローリン）展開する，あるいは $x=0$ の周りで Taylor（テイラー）展開するという．上の等式の証明は大学数学の内容だが，高校数学の範囲で限定的に（$x \geqq 0$ の範囲で）やってみる．
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無限級数メモ#2

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無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n}
\]
の値を求めてみよう．誘導付きの問題形式にしてある．また，他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう，拡張した形で計算を行う．

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無限級数メモ#1

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以前に知人が数学書の中から見つけた無限級数に関するメモ．出典はおそらくRamanujan（ラマヌジャン）だったと思われる．Yahoo知恵袋 などで教えていただいた解答とともに残しておく．

Question 1
\begin{eqnarray*}
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) \\
+ \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\end{eqnarray*}
を示せ．

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