数学

積分メモ#1

今回は次の定積分を力技で求めたときのメモ.部分分数分解の練習になった.$\tan^{-1}{x}$ の記法は使わずに,すべて $x = \tan{t}$ のような変数変換を用いている.

Question1

数列 $\{a_n\} \quad (n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}
\]
で定める.$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ.

 

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無限級数メモ#2

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} \qquad (a>0) \tag{$\clubsuit$}
\]
の値を高校数学の範囲で求めるための計算メモ.級数 $(\clubsuit)$ を求めるために,まず
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) \tag{$\heartsuit$}
\]
を考える.

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無限級数メモ#1

出典は(おそらく)Ramanujan(ラマヌジャン)と思われる無限級数に関するメモ.

Question 1

\[
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\]

を示せ.

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Gauss積分

Gauss積分は確率論や統計学の正規分布に現れる,指数関数 $e^{-x^2}$ に関する(広義)積分である.今回はGauss積分の計算を高校数学レベルで導出する方法についてのメモ.導出にはWallis積分を用いる.

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