無限級数メモ#2


無限級数

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},~~~~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n} \]

の値を求めてみよう.誘導付きの問題形式にしてある.また,他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう,拡張した形で計算を行う.

スポンサーリンク
Question
\theta0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2} を満たすとする.数列 \{a_n\}~~(n = 1,2,3,\ldots)

    \[ \int_{0}^{\theta} \sin^{2n}{x}\tan{x}\,dx \]

で定めるとき,以下の問に答えよ.
(1) a_1 を求めよ.

(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n = 0} を示せ.

(3) a_{n+1} - a_nn\theta の式で表せ.

(4) \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n}}\theta の式で表せ.

(5) 次の無限級数の値を求めよ.

    \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n}~,~~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 4^n} \]

解答

(1) 解答


(2) 解答



(3) 解答



(4) 解答


(5) 解答


その他の級数の値

\theta に幾つかの値を代入して次の結果を得る.有理数に対する無限級数としては

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n \cdot 4^n} = \log{4} = 2\log{2} \]

を得る.これは

    \[ \theta = \frac{\pi}{3} \]

を代入した結果である.無理数に対するものとしては

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-\sqrt{3})^n}{n \cdot 4^n} = \log{(8-4\sqrt{3})} \]

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-\sqrt{5})^n}{n \cdot 8^n} = \log{\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{5}\right)} \]

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-\sqrt{2})^n}{n \cdot 4^n} = \log{(3-2\sqrt{2})} \]

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5-\sqrt{5})^n}{n \cdot 8^n} = \log{(6-2\sqrt{5})} \]

などが得られる.それぞれ

    \[ \theta = \frac{\pi}{12},~~~\theta = \frac{\pi}{10},~~~\theta = \frac{\pi}{8},~~~\theta = \frac{\pi}{5} \]

を代入した結果である.需要はなさそうである.なお,より一般(?)に

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot \alpha^n} = \log{\frac{\alpha}{\alpha -1}}~~~~(\alpha > 1) \]

が成り立つ.これは \sin^2{\theta} = \frac{1}{\alpha} とおけばよい(\alpha > 0 でなければこの操作は不可能である).


    \[ \theta = \frac{\pi}{2} \]

を形式的に代入してみると,調和級数の発散

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty \]

を得られる.


スポンサーリンク