無限級数メモ#2


無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n}
\]
の値を求めてみよう.誘導付きの問題形式にしてある.また,他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう,拡張した形で計算を行う.

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Question
$\theta$ は $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たすとする.数列 $\{a_n\}\quad(n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
\int_{0}^{\theta} \sin^{2n}{x}\tan{x}\,dx
\]
で定めるとき,以下の問に答えよ.
(1) $a_1$ を求めよ.

(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n = 0}$ を示せ.

(3) $a_{n+1}-a_n$ を $ n $ と $ \theta $ の式で表せ.

(4) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n}}$ を $\theta$ の式で表せ.

(5) 次の無限級数の値を求めよ.
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n}~, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 4^n}
\]

解答

$(1)$ 解答

$(2)$ 解答

$(3)$ 解答

$(4)$ 解答

$(5)$ 解答

その他の級数の値

$\theta$ に幾つかの値を代入して次の結果を得る.有理数に対する無限級数としては
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n \cdot 4^n} = \log{4} = 2\log{2}
\]
を得る.これは
\[
\theta = \frac{\pi}{3}
\]
を代入した結果である.無理数に対するものとしては
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-\sqrt{3})^n}{n \cdot 4^n} = \log{(8-4\sqrt{3})}
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-\sqrt{5})^n}{n \cdot 8^n} = \log{\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{5}\right)}
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-\sqrt{2})^n}{n \cdot 4^n} = \log{(3-2\sqrt{2})}
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5-\sqrt{5})^n}{n \cdot 8^n} = \log{(6-2\sqrt{5})}
\]
などが得られる.それぞれ
\[
\theta = \frac{\pi}{12},\quad \theta = \frac{\pi}{10},\quad \theta = \frac{\pi}{8},~~~\theta = \frac{\pi}{5}
\]
を代入した結果である.需要はなさそうである.なお,より一般(?)に
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot \alpha^n} = \log{\frac{\alpha}{\alpha -1}}\quad (\alpha > 1)
\]
が成り立つ.これは $\sin^2{\theta} = \frac{1}{\alpha}$ とおけばよい($\alpha > 0$ でなければこの操作は不可能である).

\[
\theta = \frac{\pi}{2}
\]
を形式的に代入してみると,調和級数の発散
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty
\]
を得られる.


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