1/(a^n+x^n)の広義積分


$a > 0$ に対して,広義積分

\[
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{a^n+x^n}
\]

と関連する広義積分の値を求める手順をまとめたノート.

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計算の方針と概略

複素解析を用いる

  • 留数定理を用いて $a=1$ の場合を計算する
  • 変数変換で一般の $a$ に対する結果を得る
  •  

    計算:複素解析を用いる

    $a=1$ の場合を計算する

     

    整数 $n \geqq 2$ に対して
    \[
    f(z)=\frac{1}{1+z^n}
    \]
    とおく.

     

    積分路の設定

    詳細(click)

    $R > 0$ に対して
    \[
    \begin{cases}
    C_1: z(t)=t & (t: 0 \to R) \\
    C_2: z(t)=Re^{it} & (t:0 \to 2\pi i/n) \\
    C_3: z(t)=te^{2\pi i/n} & (t:R \to 0)
    \end{cases}
    \]
    からなるおうぎ形の積分路 $C=C_1+C_2+C_3$ を考える.

     

    留数の計算

    詳細(click)

    $f(z)=1/(1+z^n)$ の孤立特異点は $1+z^{n}= 0$ の解である.$z = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})$ とおく.
    \[
    r^{n} = |z^{n}| = |-1^{n}| = 1
    \]
    であるから $r=1$ を得る.また,de Moivreの定理より
    \[
    -1 = z^{n} = \cos{n\theta} + i \sin{n\theta}
    \]
    である.両辺の実部と虚部を比較すれば
    \[
    -1 = \cos{n\theta}, \qquad 0 = \sin{n\theta}
    \]
    となるから
    \[
    \theta = \frac{2k-1}{n}\pi
    \]
    を得る.以降
    \[
    \theta_k = \frac{2k-1}{n}\pi
    \]
    とすれば
    \[
    z_k = e^{i\theta_k} \qquad (k = 1 , 2 , \dots , n)
    \]
    が求める孤立特異点となる.これらはすべて $1$ 位の極である.

    $R>1$ のとき,閉曲線 $C$ に囲まれた領域に含まれる $f(z)$ の極は
    \[
    z_1=e^{i\theta_1}=\cos{\frac{\pi}{n}}+i\sin{\frac{\pi}{n}}
    \]
    だけである.この点での $f(z)$ の留数は
    \[
    \begin{align*}
    \underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,f(z)
    &=\underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,\frac{1}{1+z^n} \\
    &=\lim_{z \to z_1}\frac{z-z_1}{1+z^n}\\
    &=\lim_{z \to z_1}\frac{1}{nz^{n-1}} \\
    &= \frac{1}{nz_1^{n-1}} \\
    &= \frac{z_1}{-n} \\
    &= -\frac{e^{\pi i/n}}{n}
    \end{align*}
    \]
    となる.

     

    $C_1$ 上の線積分

    詳細(click)

    \[
    \int_{C_1}f(z)\,dz = \int_{0}^{R}\frac{dt}{1+t^n}
    \]

     

    $C_2$ 上の線積分

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    $R > 1$ のとき,三角不等式より
    \[
    |1+(Re^{it})^n| \geqq \left||1|-|Re^{it}|^n\right| = |1-R^n| = R^n-1
    \]
    であることに注意すれば
    \[
    \begin{align*}
    \left|\int_{C_2}f(z)\,dz\right|
    &\leqq \int_{0}^{2\pi /n}\left|\frac{1}{1+(Re^{it})^n}\right|\left|\frac{dz}{dt}\right|\,dt \\
    &\leqq \int_{0}^{2\pi /n}\frac{R}{R^n-1}\,dt \\
    &= \frac{2\pi R}{n(R^n-1)} \longrightarrow 0 \quad (R \to \infty)
    \end{align*}
    \]
    が成り立つ.

     

    $C_3$ 上の線積分

    詳細(click)

    \[
    \begin{align*}
    \int_{C_3}f(z)\,dz
    &= \int_{R}^{0}\frac{1}{1+(te^{2\pi i/n})^n}\frac{dz}{dt}\,dt \\
    &= -e^{2 \pi i/n}\int_{0}^{R}\frac{1}{1+t^n}\,dt
    \end{align*}
    \]

     

    まとめ

    整数 $n \geqq 2$ と $a > 0$ に対して
    \[
    \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^n}\,dt = \frac{\pi}{n\sin{(\pi/n)}}
    \]
    が成り立つ.

     
    詳細(click)

    留数定理より
    \[
    \oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i \underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,f(z) = -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n}
    \]
    であるから
    \[
    \begin{align*}
    -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n}
    &= \oint_{C}f(z)\,dz \\
    &= \int_{C_1}f(z)\,dz + \int_{C_2}f(z)\,dz + \int_{C_3}f(z)\,dz \\
    &= (1-e^{2\pi i /n})\int_{0}^{R}\frac{1}{1+t^n}\,dt + \int_{C_2}f(z)\,dz
    \end{align*}
    \]
    ここで極限 $R \to \infty$ を考えれば
    \[
    -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n} = (1-e^{2\pi i /n})\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^n}\,dt
    \]
    より
    \[
    \begin{align*}
    \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^n}\,dt
    &= -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n(1-e^{2\pi i /n})} \\
    &= \frac{\pi}{n}\frac{2i}{e^{\pi/n}-e^{-\pi/n}} \\
    &= \frac{\pi}{n\sin{(\pi/n)}}
    \end{align*}
    \]
    が成り立つ.ここで最後の等号は
    \[
    \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \sin{\theta}
    \]
    を用いた.

     

    一般の $a > 0$ に拡張する

     

    整数 $n \geqq 2$ と $a > 0$ に対して
    \[
    \int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^n+x^n}\,dt = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}
    \]
    が成り立つ.

     
    詳細(click)

    変数変換 $t=x/a$ によって
    \[
    \frac{\pi}{n\sin{(\pi/n)}} = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+(x/a)^n}\frac{1}{a}\,dx = a^{n-1}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{a^n+x^n}
    \]
    であるから,求める結果を得る.

     

    関連するノート

    $0 \leqq x \leqq 1$ での定積分
    \[
    \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^n}
    \]
    を $n=1, 2, 3, 4, 6$ のときまで求めたときのノート:

     

    20200315 更新


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