Mathematics

List

一部のリンク先について,導出した結果の一部を列挙する:

  • Wallis 積分
  • \[
    \lim_{m \to \infty}\sqrt{m}\int_{0}^{\pi/2}\sin^m{x}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
    \]
    \[
    \lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{(2n)^2}\right) = \frac{2}{\pi}
    \]
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}\cdot{}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
    \]

  • Gauss 積分
  • \[
    \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
    \]

  • $a^n/n$ の和
  • \[
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} = \log{\frac{a}{a-1}} \qquad (a>1)
    \]
    ※ $\log{(1+x)}$ の Maclaurin 展開からも導出できる

  • $1/(1+x^n)$ の定積分
  • \[
    a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n} \quad (n=1,2,3,4,6)
    \]

  • 指数関数の Maclaurin 展開
  • \[
    e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
    \]

  • 順列を含む極限
  • \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{\ell^\ell}{(\ell-1)^{\ell-1}e}
    \]

  • $x^x$ の極限
  • \[
    \lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
    \lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
    \lim_{x \to +0} x^x=1
    \]

  • Leibniz の公式
  • \[
    \arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \qquad (0 < x \leqq 1)
    \]

  • Basel 問題
  • Basel 問題 #2
  • \[
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
    \]
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{16n^2-16n + 5}{(4n-1)^2(4n-3)^2} = \frac{\pi^2}{16}
    \]

  • Mercator 級数
  • \[
    \log{(1+x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1} \qquad (0 < x \leqq 1)
    \]
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot \alpha^n} = \log{\frac{\alpha +1}{\alpha}} \qquad (\alpha \geqq 1)
    \]
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\alpha^{2n-1}} = \frac{1}{2}\log{\frac{\alpha +1}{\alpha-1}} \qquad (\alpha > 1)
    \]
    \[
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4n+1)\alpha^{4n+1}} = \frac{1}{4}\log{\frac{\alpha + 1}{\alpha-1}} + \frac{1}{2}\arctan{\frac{1}{\alpha}} \qquad (\alpha > 1)
    \]

  • 三角関数の和
  • \[
    \sum_{k=1}^{n}\sin{k \theta}, \quad \sum_{k=1}^{n}\cos{k \theta}, \quad \sum_{k=1}^{n}k\sin{k \theta}, \quad \sum_{k=1}^{n}k\cos{k \theta}, \quad \sum_{k=1}^{n}k^2\cos{k \theta}
    \]

  • Stirling の公式
  • \[
    \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} = 1
    \]

  • $1/(n^2+a^2)$ の和
  • \[
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi \cosh{\pi a}}{2a \sinh{\pi a}}-\frac{1}{2a^2} \quad (a > 0)
    \]

  • $1/(n^{2m}+a^{2m})$ の和
  • \[
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2m}+a^{2m}} \quad (a > 0)
    \]

  • $\sinh$ の無限乗積展開
  • \[
    \sinh{x} = x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \qquad (x > 0)
    \]

  • $1/(a^n+x^n)$ の広義積分
  • \[
    \int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^n+x^n}\,dt = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}} \quad (a > 0)
    \]

  • $\log{x}/(a^n+x^n)$ の広義積分
  • \[
    \int_{0}^{\infty}\frac{\log{x}}{x^n+a^n}\,dx = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}\left(\log{a}-\frac{\pi\cos{(\pi/n)}}{n\sin{(\pi/n)}}\right) \quad (a > 0)
    \]

  • Dirichlet 積分
  • \[
    \int_{0}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}
    \]
    \[
    \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\frac{\sin{bx}}{x}\,dx \quad (a , b > 0)
    \]
    \[
    \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\frac{1-\cos{bx}}{x^2}\,dx \quad (a , b > 0)
    \]

  • $n$ 項間の漸化式
  • \[
    a_{n+3} =pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n+s
    \]

  • 行列の上三角化
  • \[
    P^{-1}AP = \left[
    \begin{array}{ccccc}
    \lambda_1 & & & & \\
    &\lambda_2 & & \ast &\\
    & & \ddots & \\
    & 0 & & \ddots & \\
    & & & & \lambda_n
    \end{array}
    \right]
    \]

  • 逆行列の公式
  • \[
    (A + BDC)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1} + CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1}
    \]
    \[
    \left[
    \begin{array}{cc}
    A&B\\
    C&D
    \end{array}
    \right]^{-1}
    =
    \left[
    \begin{array}{cc}
    A^{-1} + A^{-1}BS_A^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\
    -S_A^{-1}CA^{-1} & S_A^{-1}
    \end{array}
    \right] \quad (S_A = D-CA^{-1}B)
    \]

  • Hadamard 積
  • $n$ 項間の漸化式#2
  • $n$ 項間の漸化式#3
  • 無限級数・広義積分に関する定理
  • 無限級数・広義積分に関する定理#2
  • Fibonacci 数列
  • 三角比の準有名角
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