２つ目の等号が成立することを述べる．三角関数の性質より，任意の実数 $\theta$ に対して
\[
\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)} = \sin{\theta}
\]
が成り立つから，変数変換 $\displaystyle{y = \frac{\pi}{2}-x }$ によって
\[
\int_{0}^{\pi/2} \sin^m{x}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^m{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\,dx = \int_{\pi/2}^{0}\cos^m{y}\cdot(-1)\,dy = \int_{0}^{\pi/2}\cos^m{y}\,dy
\]
であるから，最後の積分の積分変数を $y$ から $x$ に置き換えればよい．

部分積分法を用いれば

$$
\begin{eqnarray*}
W_{m+2}
& = & \int_{0}^{\pi/2} \cos^{m+2}{x}\,dx \\
& = & \int_{0}^{\pi/2} \cos{x}\cos^{m+1}{x}\,dx \\
& = & \int_{0}^{\pi/2}(\sin{x})’ \cos^{m+1}{x}\,dx \\
& = & \biggl[\sin{x}\cos^{m+1}{x}\biggr]_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} (m+1)\sin^2{x} \cos^m{x}\,dx \\
& = & 0 + (m+1)\int_{0}^{\pi/2} (1-\cos^2{x})\cos^m{x}\,dx \\
& = & (m+1)\int_{0}^{\pi/2} (\cos^{m}{x}-\cos^{m+2}{x})\,dx \\
& = & (m+1)\int_{0}^{\pi/2} \cos^{m}{x}\,dx-(m+1)\int_{0}^{\pi/2} \cos^{m+2}{x}\,dx
\end{eqnarray*}
$$

が成り立つ．ここで

$$
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{m}{x}\,dx = W_m , \quad \int_{0}^{\pi/2} \cos^{m+2}{x}\,dx = W_{m+2}
$$

に注意すれば

$$
W_{m+2} = (m+1)W_m-(m+1)W_{m+2}
$$

より

$$
W_{m+2} = \frac{m+1}{m+2}W_m
$$

を得る．

\[
W_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \,dx = \frac{\pi}{2}, \quad W_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\,dx = 1
\]

であるから，命題 2の漸化式を繰り返し用いれば，$n = 0,1,2,\ldots$ に対して

\[
W_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \tag{1}
\]
\[
W_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdots \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \tag{2}
\]

が成り立つ．また

$$
\begin{eqnarray*}
(2n-1)\cdot(2n-3) \cdots 3 \cdot 1 & = & \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot (2n-3) \cdots 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2n \cdot (2n-2) \cdots4 \cdot 2} \\ & = & \frac{(2n)!}{2n \cdot (2n-2) \cdots4 \cdot 2},
\end{eqnarray*}
$$
$$
\begin{eqnarray*}
2n \cdot (2n-2) \cdots4 \cdot 2 & = & 2^n \cdot n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1 = 2^n \cdot n!
\end{eqnarray*}
$$

が成り立つから，組み合わせの記号 $\displaystyle{{}_{n}\textrm{C}_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}}$ を用いて
\[
\frac{(2n-1)\cdot(2n-3) \cdots 3 \cdot 1}{2n \cdot (2n-2) \cdots4 \cdot 2} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n! \cdot 2^n \cdot n!} = \frac{(2n)!}{4^n\cdot n!(2n-n)!} = \frac{{}_{2n}\textrm{C}_{n}}{4^n}
\]
と変形できる．これを式 $(1)$，$(2)$ に代入すれば求める結果を得る．

数列 $\{(m+1)W_{m+1}W_m\} \quad (m = 0,1,2,\ldots)$ を考える．Wallis 積分の漸化式 (i) より
\[
(m+2)W_{m+2}W_{m+1} = (m+2) \cdot \frac{m+1}{m+2}W_{m}\cdot W_{m+1} = (m+1)W_{m+1}W_{m}
\]
であるから，この数列は定数列である．したがって
\[
(m+1)W_{m+1}W_m = (0 + 1)W_{0+1}W_{1} = \frac{\pi}{2}
\]
すなわち
\[
W_{m+1}W_{m} = \frac{\pi}{2(m+1)}
\]
が成り立つから
\[
W_{m+1} = \frac{\pi}{2(m+1)W_m}
\]
を得る．

注：命題 2 と命題 3 を使って，$m$ の偶奇に分けて直接示すこともできる．

$W_m > 0$であることは 命題 3 より明らかである．$W_{m+1} \leqq W_{m}$ であることを示す． $0 \leqq x \leqq \pi/2$ において $0 \leqq \sin{x} \leqq 1$ であるから
\[
\sin^{m+1}{x} \leqq \sin^{m}{x} \qquad (m = 0,1,2,\ldots)
\]
が成り立つ．ゆえに
\[
W_{m+1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m+1}{x}\,dx \leqq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{x}\,dx = W_m \qquad (m = 0,1,2,\ldots)
\]
である．

補題 5 より $\{W_m\}$ は単調減少列で
\[
W_{m-1} \leqq W_m \leqq W_{m+1}
\]
を満たすから，$W_m > 0$に注意して全辺に $W_m$ をかけると
\[
\frac{\pi}{2m} = W_{m-1}W_m \leqq W_m^2 \leqq W_mW_{m+1} = \frac{\pi}{2(m+1)}
\]
が成り立つ．ここで $2$ つの等号は 命題 4 を用いた．全辺 $m$ 倍して$1/2$乗すれば
\[
\sqrt{\frac{\pi}{2}} \leqq \sqrt{m}W_m \leqq \sqrt{\frac{m\pi}{2(m+1)}}
\]
を得る．ここで
\[
\lim_{m \to \infty} \sqrt{\frac{m\pi}{2(m+1)}} = \lim_{m \to \infty} \sqrt{\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1 + \frac{1}{m}}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
に注意すれば，はさみうちの原理より結論が従う．

定理 6（Wallis の公式）において $m = 2n$ とすると
\[
\lim_{n \to \infty}\sqrt{2n}W_{2n} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
が成り立つ．$W_m$ の一般項は
\[
W_{2n} = \frac{{}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} \cdot \frac{\pi}{2}
\]
であったから，上の極限の式に代入して
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{2n} \cdot \frac{{}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} \cdot \frac{\pi}{2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
を得る．これを整理すれば
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n} \cdot {}_{2n}{\rm C}_{n}}{4^n} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\pi} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}
\]
が得られた．

命題 3 の式 $(1)$，$(2)$ に注意して式変形すると

$$
\begin{eqnarray*}
& & \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{(2n)^2}\right) \\
&=& \frac{2^2-1}{2^2}\frac{4^2-1}{4^2} \cdots \frac{(2n)^2-1}{(2n)^2} \\
&=& \frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\frac{(4-1)(4+1)}{4^2} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2} \\
&=& \left(\frac{2-1}{2}\frac{4-1}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)\left(\frac{2+1}{2}\frac{4+1}{4}\cdots\frac{2n+1}{2n}\right) \\
&=& \frac{2}{\pi}\frac{W_{2n}}{W_{2n+1}} \\
&=& \frac{2}{\pi}\frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n}}\frac{\sqrt{2n}W_{2n}}{\sqrt{2n+1}W_{2n+1}} \\
&\longrightarrow& \frac{2}{\pi} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{\pi/2}}{\sqrt{\pi/2}} = \frac{2}{\pi} \qquad (n \to \infty)
\end{eqnarray*}
$$

を得る．ここで，最後の極限計算は定理 6の結果を利用した．