$$
\begin{eqnarray*}
\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}}
& = & \sum_{k=1}^{n} \bigl\{\log{(n+k)}-\log{n}\bigr\} \\
& = & \log{(n+1)} + \log{(n+2)} + \cdots + \log{(2n)}~-n\log{n} \\
& = & \log{\bigr\{(n+1)\cdot(n+2)\cdots 2n}\bigr\}-n\log{n} \\
& = & \log{\frac{(2n)!}{n!}}-n\log{n} \\
& = & \log{a_n}-n\log{n}
\end{eqnarray*}
$$
とすれば成り立つ．

等式 $(\clubsuit)$ と区分求積法を用いると
$$
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n}
& = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}} \\
& = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\left(1 + \frac{k}{n}\right)} \\
& = & \int_{0}^{1} \log{(1+x)}\,dx \\
& = & \int_{0}^{1} (1+x)’\log{(1+x)}\,dx \\
& = & \biggl[ (1+x)\log{(1+x)} \biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} (1+x)\cdot \frac{1}{(1+x)}\,dx \\
& = & 2\log{2}-1
\end{eqnarray*}
$$
を得る．

$\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_n} } {n}}$ に自然対数をとると
$$
\begin{eqnarray*}
\log{\frac{\sqrt[n]{ _{2n}{\rm P}_n} } {n}} & = & \log{\frac{\sqrt[n]{a_n}} {n}} \\
& = & \log{\sqrt[n]{a_n}}-\log{n} \\
& = & \frac{1}{n}\log{a_n}-\log{n} \\
& = & \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n}
\end{eqnarray*}
$$
である．この等式の右辺の $n \to \infty$ の極限については
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n} = 2\log{2}-1 = \log{4}-\log{e} = \log{\frac{4}{e}}
\]
であったから，求める極限は
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{ _{2n}{\rm P}_n} } {n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n} = \frac{4}{e}
\]
である．

求めるプロセスはほとんど同じである．

\[
\ell n-(n-k) = (\ell-1)n + k
\]
であることに注意すると

$$
\begin{eqnarray*}
{}_{\ell n}{\rm P}_{n} & = & \ell n \cdot (\ell n-1) \cdots \{\ell n-(n-2)\} \cdot \{\ell n-(n-1)\} \\
& = & \{(\ell-1)n + n\} \cdot \{(\ell-1)n + (n-1)\} \\
& & \quad \cdots \{(\ell-1)n +2 \} \cdot \{(\ell-1)n +1 \} \\
& = & \{(\ell-1)n + 1\} \cdot \{(\ell-1)n + 2\} \\
& & \quad \cdots \{(\ell-1)n +(n-1) \} \cdot \{(\ell-1)n +n \}
\end{eqnarray*}
$$
が成り立つ．ゆえに
$$
\begin{eqnarray*}
\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{(\ell-1) n+k}{n}}
& = & \sum_{k=1}^{n} \bigl\{\log{\{(\ell-1) n+k\}}-\log{n}\bigr\} \\
& = & \log{\{(\ell-1) n+1)\}} + \log{\{(\ell-1) n+2)\}} + \cdots + \log{\{(\ell-1) n + n\}} + n\log{n} \\
& = & \log{\bigl[\{(\ell-1)n + 1\} \cdot \{(\ell-1)n + 2\} \cdots \{(\ell-1)n +(n-1) \} \cdot \{(\ell-1)n +n \}\bigr]} + n\log{n} \\
& = & \log{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}-n\log{n}
\end{eqnarray*}
$$
を得る．ここで，区分求積法を用いれば
$$
\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} \frac{\log{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}} – n\log{n}}{n} & = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{(\ell-1) n+k}{n}} \\
& = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\left\{(\ell -1) + \frac{k}{n}\right\}} \\
& = & \int_{0}^{1} \log{\{(\ell-1)+x\}}\,dx \\
& = & \int_{0}^{1} (\ell-1+x)’\log{(\ell-1+x)}\,dx \\
& = & \biggl[ (\ell-1 +x)\log{(\ell-1+x)} \biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\,dx \\
& = & \ell \log{\ell}-(\ell-1)\log{(\ell-1)}-1 \\
& = & \log{\ell^\ell}-\log{(\ell-1)^{\ell-1}}-\log{e} \\
& = & \log{\frac{\ell^\ell}{(\ell-1)^{\ell-1}e}}
\end{eqnarray*}
$$
であるから，求める極限は
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{\ell^\ell}{(\ell-1)^{\ell-1}e}
\]
である．実際，これは先の結果（$\ell = 2$ のとき) も反映している．