x^x の極限


このノートには以下の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x^x=1
\]

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた.

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$\log{x}/x$ の極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x} = 0
\]

 

計算の方針と概略

  • 関数
    \[
    f(x) = 2\sqrt{x}-\log{x} \quad (x \geqq 1)
    \]
    の増減を調べて,不等式
    \[
    0 \leqq \log{x} \leqq 2\sqrt{x} \quad (x \geqq 1) \tag{$\diamondsuit$}
    \]
    を示す
  • 計算

    詳細(click)

    \[
    f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \geqq 0 \quad (x \geqq 1)
    \]
    であるから,$f(x)$ は $x\geqq 1$ でつねに増加する.したがって
    \[
    2\sqrt{x}-\log{x} = f(x) \geqq f(1) = 2
    \]
    が成り立つ.ゆえに
    \[
    2\sqrt{x} \geqq 2 + \log{x} > \log{x}
    \]
    を得る.また,$x \geqq 1$ で $\log{x} \geqq 0$ であることに注意すれば
    \[
    0 \leqq \log{x} \leqq 2\sqrt{x}
    \]
    が成り立つ.不等式の両辺に $1/x$ を掛けて
    \[
    0 \leqq \frac{\log{x}}{x} \leqq \frac{2}{\sqrt{x}}
    \]
    を得る.$x \to \infty$ の極限をとれば,はさみうちの原理より極限は収束して
    \[
    \lim_{x \to \infty} \frac{\log{x}}{x} = 0
    \]
    となる.

    //
     

    $x \log{x}$ の極限

    \[
    \lim_{x \to +0} x\log{x} = 0
    \]

     
    詳細(click)

    先の結果より
    \[
    \lim_{t \to \infty} \frac{\log{t}}{t} = 0
    \]
    である.ここで
    \[
    t = \frac{1}{x}
    \]
    とすると,$t \to \infty$ のとき $x \to +0$ であって
    \[
    0 = \lim_{t \to \infty} \frac{\log{t}}{t} = \lim_{x \to +0} \frac{\log{(1/x)}}{1/x} = \lim_{x \to +0} -x\log{x}
    \]
    である.したがって極限は収束して
    \[
    \lim_{x \to +0} x\log{x} = 0
    \]
    となる.

    //
     

    $x^x$ の極限

    \[
    \lim_{x \to +0} x^x = 1
    \]

     
    詳細(click)

    対数の性質を用いれば
    \[
    0 = \lim_{x \to +0}x \log{x} = \lim_{x \to +0}\log{x^x}
    \]
    である.ゆえに極限は収束して
    \[
    \lim_{x \to +0} x^x = 1
    \]
    となる.

    //
     
    補足(click)

    連続な関数 $f(x)$ に対して
    \[
    \lim_{x \to a}g(x) = g(a) ~\Longrightarrow~ \lim_{x \to a}f(g(x)) = f(g(a))
    \]
    が成り立つという事実を用いた.

     

    20190522 更新


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