正の項と負の項が交互に現れる級数を 交代級数 という．

実数列 $\{a_n\} ~~ (n = 1 , 2 , 3 , \dots)$ が
\[
a_n > 0,\qquad a_1 \geqq a_2 \geqq a_3 \geqq \dots , \qquad \lim_{n \to \infty}a_n = 0
\]
を満たすとき，交代級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
\]
は収束する．

実数列 $a_n~~(n=0,1,2,\dots)$ に対して
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
の形の無限級数を $0$ を中心とした べき級数 という．

べき級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
に対して

$|x| < R$ で絶対収束するような $R>0$ が存在するとき，$R$ を 収束半径 という．ただし，このような $R$ が存在しない次のような場合について

と約束する．したがってすべてのべき級数に対して収束半径 $R$ が存在して，$R \geqq 0$ または $R = \infty$ である．

べき級数が $x = \alpha \neq 0$ で収束するとき，収束半径 $R$ は $R < |\alpha|$ を満たす．

\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
とおく．右辺のべき級数の収束半径が $R$ であるとき，$f(x)$ は $-R < x < R$ で連続である．

\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
とおく．右辺のべき級数の収束半径が $R$ であり，$x = R$ でも収束するならば，$f(x)$ は $-R < x \leqq R$ で連続である．$x = -R$ でも収束するならば、$f(x)$ は $-R \leqq x < R$ で連続である．

\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
の右辺のべき級数の収束半径を $R$ とする．$f(x)$ は $-R < x < R$ で微分可能であり
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{d}{dx}x^n = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}
\]
が成り立つ．

\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
の右辺のべき級数の収束半径を $R$ とする．$-R < a < b < R$ を満たす $a,\,b$ に対して
\[
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{a}^{b}x^n\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})
\]
が成り立つ．

$D = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqq x \leqq b\}$ と区間 $I \subset \mathbb{R}$ に対して，$2$ 変数関数 $f(x,t)$ が $D \times I = \{(x,t) \mid a \leqq x \leqq b , \, t \in I\}$ で連続ならば
\[
F(t) = \int_{a}^{b} f(x,t)\,dt
\]
は連続である．さらに $\partial f/\partial t$ が $D$ で連続ならば，$F(t)$ は $D$ で連続かつ $D \setminus \overline{D}$ で微分可能であり
\[
\frac{d}{dt}F(t) = \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)\,dx
\]
が成り立つ．

$I \subset \mathbb{R}$ を区間とする．$2$ 変数関数 $f(x,t)$ は $\{(x,t) \mid a \leqq x , \, t \in I\}$ で連続であり，条件
\[
|f(x,t)| \leqq M(x) \quad (x \geqq a, \, t \in I)
\]
かつ
\[
\int_{a}^{\infty}M(x)\,dx < + \infty
\]
を満たす関数 $M(x)$ が存在するならば，広義積分
\[
F(t) = \int_{a}^{\infty} f(x,t)\,dx
\]
は区間 $I$ で一様収束する．

$I \subset \mathbb{R}$ を区間とする．$2$ 変数関数 $f(x,t)$ は $\{(x,t) \mid a \leqq x , \, t \in I\}$ で連続であり，広義積分
\[
F(t) = \int_{a}^{\infty} f(x,t)\,dx
\]
が区間 $I$ で一様収束するとき，$F(t)$ は区間 $I$ で連続であり，有限閉区間 $\{x \subset I \mid r \leqq x \leqq s\}$
に対して
\[
\int_{r}^{s}F(t)\,dt = \int_{r}^{s} \left(\int_{a}^{\infty}f(x,t)\,dx\right)\,dt = \int_{a}^{\infty}\left(\int_{r}^{s}f(x,t)\,dt \right)\,dx
\]
が成り立つ．

$I \subset \mathbb{R}$ を区間とする．$2$ 変数関数 $f(x,t)$ は $D = \{(x,t) \mid a \leqq x , \, t \in I\}$ で連続であり，広義積分
\[
F(t) = \int_{a}^{\infty} f(x,t)\,dx
\]
がすべての $t \in I$ で収束しているとする．さらに
\[
\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)
\]
が $D$ で連続であって
\[
G(t) = \int_{a}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)\,dx
\]
が $I$ で一様収束するとき，$F(t)$ は $I$ で連続かつ $I \setminus \overline{I}$ で微分可能であり
\[
F'(t) = G(t)
\]
が成り立つ．

$f(x)$ を $-\pi \leqq x \leqq \pi$ で区分的に連続な関数とする．このとき

\[
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}\,dx
\]
に対して
\[
\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos{nx} + b_n\sin{nx}\bigr)
\]
を $f(x)$ の Fourier 級数 という．また，$a_n, \, b_n$ を Fourier 係数 という．

$f(x)$ を $-\pi \leqq x \leqq \pi$ で区分的に連続かつ $-\pi < x < \pi$ で区分的に微分可能な関数を周期 $2 \pi$ に拡張した関数とする．$f(x)$ の Fourier 級数を $S(x)$ と表すとき，$-\pi \leqq x_0 \leqq \pi$ に対して
\[
S(x_0) =
\begin{cases}
f(x_0) & \text{（ $f(x)$ は $x = x_0$ で連続）}　\\ \\
\displaystyle \frac{1}{2}\left( \lim_{x \to x_0-0}f(x) + \lim_{x \to x_0 + 0}f(x) + \right) & \text{（ $f(x)$ は $x = x_0$ で不連続）}
\end{cases}
\]
が成り立つ．

$f(x)$ を $-\pi \leqq x \leqq \pi$ で区分的に連続な関数とする．$f(x)$ のFourier係数を $a_n, \, b_n$ とするとき
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2) = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx
\]
が成り立つ．ただし
\[
\sum_{n =-\infty}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2) = \lim_{N \to \infty}\sum_{n =-N}^{N}(a_n^2 + b_n^2)
\]
のように対称に部分和をとるものとする．