n項間の漸化式#3


$4$ 項間の漸化式

\[
a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1}-a_n, \quad a_1 = 0 , \ a_2 = -1 , \ a_3 = 1
\]

で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を線形代数(行列)で求める.

この例では行列の対角化ができないため,Jordan標準形を用いてべき乗を計算する.

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計算の方針と概略

Example 2

漸化式

\[
a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1}-a_n, \quad a_1 = 0 , \ a_2 = -1 , \ a_3 = 1
\]

で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求める.

 

以下のノートと同じように,行列での計算を考える:

  • ベクトル $\boldsymbol{x}_n$ を
    \[
    \boldsymbol{x}_n = \left[
    \begin{array}{c}
    a_{n+2} \\
    a_{n+1} \\
    a_n
    \end{array}
    \right]
    \]
    で定めて,$\boldsymbol{x}_{n+1} = A \boldsymbol{x}_n$ を満たす $3$ 次正方行列 $A$ を求める
  • $\boldsymbol{x}_n = A^{n-1}\boldsymbol{x}_1$ となることを利用するために $A^n$ を求める
  • $\{a_n\}$ の一般項を求める
  •  

    行列が対角化できればべき乗計算につなげることができるが,今回の行列 $A$ は対角化不可能である.
    そこで,代わりにJordan標準形への分解を考える.

     

    計算

    $3$ 次正方行列 $A$ を求める

    ベクトル $\boldsymbol{x}_n$ を
    \[
    \boldsymbol{x}_n = \left[
    \begin{array}{c}
    a_{n+2} \\
    a_{n+1} \\
    a_n
    \end{array}
    \right]
    \]
    とおく.
    $\boldsymbol{x}_{n+1} = A \boldsymbol{x}_n$ を満たす行列 $A$ を求める.
    \[
    \boldsymbol{x}_{n+1} = \left[
    \begin{array}{c}
    a_{n+3} \\
    a_{n+2} \\
    a_{n+1}
    \end{array}
    \right]
    = \left[
    \begin{array}{c}
    a_{n+2} + a_{n + 1}-a_n \\
    a_{n+2} \\
    a_{n+1}
    \end{array}
    \right]
    = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & -1 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0
    \end{array}
    \right] \left[
    \begin{array}{c}
    a_{n+2} \\
    a_{n+1} \\
    a_n
    \end{array}
    \right] = A\boldsymbol{x}_n
    \]
    と計算して,
    \[
    A = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & -1 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0
    \end{array}
    \right]
    \]
    を得る.

    $A^n$ を求める

    固有値を求める.
    \[
    \varphi_A(x) = |xE-A| = \left|
    \begin{array}{ccc}
    x-1 & -1 & 1 \\
    -1 & x & 0 \\
    0 & -1 & x
    \end{array}
    \right|
    = x^3-x^2-x+1 = (x+1)(x-1)^2
    \]
    より,固有値は $-1$(重複度 $1$) と $1$(重複度 $2$)である.

    Jordan標準形 $J$ を決定するために各固有値に対する固有空間の次元を調べる.

    固有値 $1$ に関して,
    \[
    A-1 \cdot E = \left[
    \begin{array}{ccc}
    0 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & -1
    \end{array}
    \right] \xrightarrow{\text{行基本変形}}
    \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & -1 \\
    0 & 1 & -1 \\
    0 & 0 & 0
    \end{array}
    \right]
    \]
    より,${\rm rank}(A-1 \cdot E) = 2$ であるから,固有値 $1$ に対するJordan細胞は $3-2 = 1$ より1つ.また,固有値 $1$ に対する固有空間の基底として $\left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    1
    \end{array}
    \right]$ が選べる.

    固有値 $-1$ に関して,
    \[
    A-(-1) \cdot E = \left[
    \begin{array}{ccc}
    2 & 1 & -1 \\
    1 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 1
    \end{array}
    \right] \xrightarrow{\text{行基本変形}}
    \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & -1 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0
    \end{array}
    \right]
    \]
    より,${\rm rank}(A-(-1) \cdot E) = 2$ であるから,固有値 $-1$ に対するジョルダン細胞は $3-2 = 1$ より1つ.また,固有値 $-1$ に対する固有空間の基底として $\left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    -1 \\
    1
    \end{array}
    \right]$ が選べる.

    したがって $A$ のJordan標準形 $J$ は

    \[
    J = J(1,2) \oplus J(-1,1) = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1
    \end{array}
    \right]
    \]

    と決定できる.

    正則行列 $P$ を求める.$J = P^{-1}AP$ より $AP = PJ$ である.$P = [\boldsymbol{p}_1 ~ \boldsymbol{p}_2 ~ \boldsymbol{p}_3]$ とおくと,
    \[
    \left\{
    \begin{array}{lcrcrcr}
    A\boldsymbol{p}_1 & = & 1 \cdot \boldsymbol{p}_1 & + & 0 \cdot \boldsymbol{p}_2 & + & 0 \cdot \boldsymbol{p}_3 \\
    A\boldsymbol{p}_2 & = & 1 \cdot \boldsymbol{p}_1 & + & 1 \cdot \boldsymbol{p}_2 & + & 0 \cdot \boldsymbol{p}_3 \\
    A\boldsymbol{p}_3 & = & 0 \cdot \boldsymbol{p}_1 & + & 0 \cdot \boldsymbol{p}_2 & + & -1 \cdot \boldsymbol{p}_3
    \end{array}
    \right.
    \]

    が成り立つ.1つ目の式より $A \boldsymbol{p}_1 = \boldsymbol{p}_1$ であるが,これは $\boldsymbol{p}_1$ が 固有値 $1$ に対する $A$ の固有ベクトルであることを表すから,先に求めた固有空間の基底を採用して
    $\boldsymbol{p}_1 = \left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    1
    \end{array}
    \right]$
    としてよい.2つ目の式の $\boldsymbol{p}_2$ を左辺に移項して整理すると $(A-E)\boldsymbol{p}_2 = \boldsymbol{p}_1$ であるから,$\boldsymbol{p}_2 = \left[
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right]$ とおいて

    \[
    \left[
    \begin{array}{ccc}
    0 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 0 \\
    0 & 1 & -1
    \end{array}
    \right]\left[
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z
    \end{array}
    \right] = \left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right]
    \]
    を満たす $x , \ y, \ z$ を1つ求めればよい.
    例えば,$\boldsymbol{p}_2 = \left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    0 \\
    -1
    \end{array}
    \right]$ が選べる.3つ目の式は $\boldsymbol{p}_3$ が 固有値 $-1$ に対する $A$ の固有ベクトルであることを表すから,先に求めた基底を採用して,$\boldsymbol{p}_3 = \left[
    \begin{array}{c}
    1 \\
    -1 \\
    1
    \end{array}
    \right]$ としてよい.以上より,求める正則行列 $P$ は

    \[
    P = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & 1 \\
    1 & 0 & -1 \\
    1 & -1 & 1
    \end{array}
    \right]
    \]
    である.

    $A^n = (P J P^{-1})^n = (P J P^{-1})(P J P^{-1}) \cdots (P J P^{-1}) = PJ^nP^{-1}$ である.Jordan細胞の $n$ 乗の公式と掃き出し法の計算により
    \[
    J^n = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1^n & n \cdot 1^{n-1} & 0 \\
    0 & 1^n & 0 \\
    0 & 0 & (-1)^n
    \end{array}
    \right] = \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & n & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & (-1)^n
    \end{array}
    \right], \quad
    P^{-1} = \frac{1}{4}\left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    2 & 0 & -2 \\
    1 & -2 & 1
    \end{array}
    \right]
    \]
    であるから,
    \[
    A^{n} = PJ^nP^{-1} = \frac{1}{4}\left[
    \begin{array}{lrl}
    2n + 3 + (-1)^{n+2} & 2 + 2(-1)^{n+3} & -2n-1 + (-1)^{n+2} \\
    2n + 1 + (-1)^{n+1} & 2 + 2(-1)^{n+2} & -2n + 1 + (-1)^{n+1} \\
    2n-1 + (-1)^n & 2 + 2(-1)^{n+1} & -2n + 3 + (-1)^n
    \end{array}
    \right]
    \]
    を得る.

    $\{a_n\}$ の一般項を求める

    $\boldsymbol{x}_n = A^{n-1}\boldsymbol{x}_1$ が成り立つことを利用すれば,この右辺を実際に計算して
    \[
    a_n = \frac{2(n-1) + 3\{(-1)^{n-1}-1\}}{4}
    \]
    が求められる.

     

    このノートの内容は次のPDFでも見られる:
    rrQ2_ans.pdf

     

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