1/(a^n+x^n)の広義積分
$a > 0$ に対して，広義積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{a^n+x^n}
\]
の値を求める．
目次
$1/(a^2+x^2)$ の広義積分
整数 $n \geqq 2$ と $a > 0$ に対して
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^n+x^n}\,dt = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}
\]
が成り立つ．
複素解析を用いて $a=1$ の場合を示し，変数変換により $a > 0$ の場合へ拡張する．
整数 $n \geqq 2$ に対して
\[
f(z)=\frac{1}{1+z^n}
\]
とおく．
Step 1：積分路の設定
詳細（click）
$R > 0$ に対して
\[
\begin{cases}
C_1: z(t)=t & (t: 0 \to R) \\
C_2: z(t)=Re^{it} & (t:0 \to 2\pi i/n) \\
C_3: z(t)=te^{2\pi i/n} & (t:R \to 0)
\end{cases}
\]
からなるおうぎ形の積分路 $C=C_1+C_2+C_3$ を考える．
Step 2：留数の計算
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$f(z)=1/(1+z^n)$ の孤立特異点は $1+z^{n}= 0$ の解である．$z = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})$ とおく．
\[
r^{n} = |z^{n}| = |-1^{n}| = 1
\]
であるから $r=1$ を得る．また，de Moivreの定理より
\[
-1 = z^{n} = \cos{n\theta} + i \sin{n\theta}
\]
である．両辺の実部と虚部を比較すれば
\[
-1 = \cos{n\theta}, \qquad 0 = \sin{n\theta}
\]
となるから
\[
\theta = \frac{2k-1}{n}\pi
\]
を得る．以降
\[
\theta_k = \frac{2k-1}{n}\pi
\]
とすれば
\[
z_k = e^{i\theta_k} \qquad (k = 1 , 2 , \dots , n)
\]
が求める孤立特異点となる．これらはすべて $1$ 位の極である．
$R>1$ のとき，閉曲線 $C$ に囲まれた領域に含まれる $f(z)$ の極は
\[
z_1=e^{i\theta_1}=\cos{\frac{\pi}{n}}+i\sin{\frac{\pi}{n}}
\]
だけである．この点での $f(z)$ の留数は
\[
\begin{align*}
\underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,f(z)
&=\underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,\frac{1}{1+z^n} \\
&=\lim_{z \to z_1}\frac{z-z_1}{1+z^n}\\
&=\lim_{z \to z_1}\frac{1}{nz^{n-1}} \\
&= \frac{1}{nz_1^{n-1}} \\
&= \frac{z_1}{-n} \\
&= -\frac{e^{\pi i/n}}{n}
\end{align*}
\]
となる．
Step 3：線積分の計算
$C_1$ 上の線積分
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\[
\int_{C_1}f(z)\,dz = \int_{0}^{R}\frac{dt}{1+t^n}
\]
$C_2$ 上の線積分
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$R > 1$ のとき，三角不等式より
\[
|1+(Re^{it})^n| \geqq \left||1|-|Re^{it}|^n\right| = |1-R^n| = R^n-1
\]
であることに注意すれば
\[
\begin{align*}
\left|\int_{C_2}f(z)\,dz\right|
&\leqq \int_{0}^{2\pi /n}\left|\frac{1}{1+(Re^{it})^n}\right|\left|\frac{dz}{dt}\right|\,dt \\
&\leqq \int_{0}^{2\pi /n}\frac{R}{R^n-1}\,dt \\
&= \frac{2\pi R}{n(R^n-1)} \longrightarrow 0 \quad (R \to \infty)
\end{align*}
\]
が成り立つ．
$C_3$ 上の線積分
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\[
\begin{align*}
\int_{C_3}f(z)\,dz
&= \int_{R}^{0}\frac{1}{1+(te^{2\pi i/n})^n}\frac{dz}{dt}\,dt \\
&= -e^{2 \pi i/n}\int_{0}^{R}\frac{1}{1+t^n}\,dt
\end{align*}
\]
Step 4：$a = 1$ の場合
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留数定理より
\[
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i \underset{z=z_1}{\textrm{Res}}\,f(z) = -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n}
\]
であるから
\[
\begin{align*}
-\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n}
&= \oint_{C}f(z)\,dz \\
&= \int_{C_1}f(z)\,dz + \int_{C_2}f(z)\,dz + \int_{C_3}f(z)\,dz \\
&= (1-e^{2\pi i /n})\int_{0}^{R}\frac{1}{1+t^n}\,dt + \int_{C_2}f(z)\,dz
\end{align*}
\]
ここで極限 $R \to \infty$ を考えれば
\[
-\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n} = (1-e^{2\pi i /n})\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^n}\,dt
\]
より
\[
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^n}\,dt
&= -\frac{2\pi i e^{\pi i/n}}{n(1-e^{2\pi i /n})} \\
&= \frac{\pi}{n}\frac{2i}{e^{\pi/n}-e^{-\pi/n}} \\
&= \frac{\pi}{n\sin{(\pi/n)}}
\end{align*}
\]
が成り立つ．ここで最後の等号は
\[
\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \sin{\theta}
\]
を用いた．
Step 5：一般の $a > 0$ に拡張する
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変数変換 $t=x/a$ によって
\[
\frac{\pi}{n\sin{(\pi/n)}} = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+(x/a)^n}\frac{1}{a}\,dx = a^{n-1}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{a^n+x^n}
\]
であるから
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^n+x^n}\,dt = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}
\]
を得る．
20200315 更新