\[
f(x) = 2\sqrt{x}-\log{x}
\]
とおく．
\[
f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \geqq 0 \quad (x \geqq 1)
\]
であるから，$f(x)$ は $x\geqq 1$ でつねに増加する．したがって
\[
2\sqrt{x}-\log{x} = f(x) \geqq f(1) = 2
\]
が成り立つ．ゆえに
\[
2\sqrt{x} \geqq 2 + \log{x} > \log{x}
\]
を得る．また，$x \geqq 1$ で $\log{x} \geqq 0$ であることに注意すれば
\[
0 \leqq \log{x} \leqq 2\sqrt{x}
\]
が成り立つ．不等式の両辺に $1/x$ を掛けて
\[
0 \leqq \frac{\log{x}}{x} \leqq \frac{2}{\sqrt{x}}
\]
を得る．$x \to \infty$ の極限をとれば，はさみうちの原理より極限は収束して
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\log{x}}{x} = 0
\]
となる．

先の結果より
\[
\lim_{t \to \infty} \frac{\log{t}}{t} = 0
\]
である．ここで
\[
t = \frac{1}{x}
\]
とすると，$t \to \infty$ のとき $x \to +0$ であって
\[
0 = \lim_{t \to \infty} \frac{\log{t}}{t} = \lim_{x \to +0} \frac{\log{(1/x)}}{1/x} = \lim_{x \to +0} -x\log{x}
\]
である．したがって極限は収束して
\[
\lim_{x \to +0} x\log{x} = 0
\]
となる．

対数の性質を用いれば
\[
0 = \lim_{x \to +0}x \log{x} = \lim_{x \to +0}\log{x^x}
\]
である．ゆえに極限は収束して
\[
\lim_{x \to +0} x^x = 1
\]
となる．

連続な関数 $f(x)$ に対して
\[
\lim_{x \to a}g(x) = g(a) ~\Longrightarrow~ \lim_{x \to a}f(g(x)) = f(g(a))
\]
が成り立つという事実を用いた．