2017年5月3日

行列の上三角化

TMyuki 代数学, 数学, 解析学 0 Comments

$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と，対応する固有空間の次元が一致するとき（あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき），$A$ は対角化可能（diagonalizable）である．一方，$A$ が対角化可能でないときでも，$A$ を上三角化（triangular）することができる．すなわち

\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する．ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値．

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが，実際に計算した例を見ることは少ない気がする．難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば，それが上三角化行列になるからだろうか．

今回は正則行列 $P$ によって（Jordan 標準形を前提とせずに）上三角行列を構成するための手順をまとめた．
$P$ が存在することの証明はせず，途中の計算も大幅に省略した．なお，さらに強い条件として $P$ を直交（ユニタリ）行列にすることもできる（Schur分解）．

上三角化の計算

計算の方針と概略

• 固有値（今回は重複度 $4$ ）と固有ベクトルを求める
• 固有ベクトルが $4$ つ得られないので，適当なベクトルを並べて正則行列を構成する
• 構成した正則行列で相似変換すると $1$ 列目が上三角行列の形になる
• 行列全体が上三角行列になるまで繰り返す

計算

固有値を求める．
\[
\det{(xE-A)} = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x+1)^4
\]
であるから，固有値 $\lambda$ とその重複度 $\alpha$ は
\[
\lambda = -1 \qquad (\alpha = 4)
\]
である．固有値 $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルを考える．
\[
\lambda E-A \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
より，固有ベクトルとして，たとえば
\[
\boldsymbol{v_1} = \left[
\begin{array}{c}
4 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]
\]
が選べる．固有値 $-1$ に対する固有ベクトルが $4$ 個とれていないから，この時点で対角化は不可能．

ここで，固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ と1次独立となるようなベクトルを任意に3個とる．このとり方によって最終的な上三角行列の $\ast$ 成分と正則行列 $P$ が変わるが，あとで逆行列が計算しやすいように，いまは
\[
\boldsymbol{e}_{2}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{3}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{4}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
としよう．$\boldsymbol{e}_{i}^{(m)}$ は $ m $ 次元ベクトル空間を張る第 $i$ 基本ベクトルである．これらを順に並べた行列を
\[
Q = \left[\boldsymbol{v}_1 ~\boldsymbol{e}_{2}^{(4)} ~\boldsymbol{e}_{3}^{(4)} ~\boldsymbol{e}_{4}^{(4)} \right]
= \left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
とおく．1次独立なベクトルを選んで並べたのだったから，これは正則行列である．$Q^{-1}$ を掃き出し法（Gaussian elimination）により求めるが，うまく選んだので容易．
\[
\left[
\begin{array}{cccc|cccc}
4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
より
\[
Q^{-1}= \frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array}
\right]
\]
を得る．いま，実際に計算すると
\[
Q^{-1}AQ = \left[
\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -5 & -6 & 2 \\
0 & 4 & 5 & -2 \\
0 & 5 & 7 & -3
\end{array}
\right]
\]
を得る．これで1列目が目標の上三角行列と同じ形になった．次に，この結果から1行目と1列目を取り除いた行列を $B$ とする．すなわち
\[
B = \left[
\begin{array}{ccc}
-5 & -6 & 2 \\
4 & 5 & -2 \\
5 & 7 & -3
\end{array}
\right]
\]
である．先の手順を繰り返す．ここで，$B$ の固有値は $A$ の固有値から $Q^{-1}AQ$ の $(1,1)$ 成分を除いた3つになっていることに注意．今回は4つとも $-1$ だったので
\[
\det{(xE-B)} = (x+1)^3
\]
になっているはずである．$B$ の固有値 $-1$ に対する固有ベクトルを求めるから
\[
\lambda E-B \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
より，固有ベクトルとして，たとえば
\[
\boldsymbol{v_2} = \left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-1
\end{array}
\right]
\]
が選べる．固有ベクトル $\boldsymbol{v}_2$ と1次独立となるようなベクトルを任意に2個とる．いまは
\[
\boldsymbol{e}_{2}^{(3)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{3}^{(3)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
としよう．これらを順に並べた行列を
\[
R = \left[\boldsymbol{v}_2 ~\boldsymbol{e}_{2}^{(3)} ~\boldsymbol{e}_{3}^{(3)}\right]
= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
とおく．これは正則行列である．$R^{-1}$ を掃き出し法により求める．
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
より
\[
R^{-1}=\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
を得る．いま，実際に計算すると
\[
R^{-1}BR = \left[
\begin{array}{ccc}
-1 & -6 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\]
を得る．この結果から1行目と1列目を取り除いた行列を $C$ とする．すなわち
\[
C = \left[
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}
\right]
\]
である．$C$ の固有値は $-1$ で，重複度 2 である．固有値 $-1$ に対する固有ベクトルは
\[
\boldsymbol{v_3} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
が選べる．これと1次独立になるようなベクトルとして
\[
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right]
\]
を考える．これらを並べた行列を
\[
S = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right]
\]
とする．これはやはり正則行列で，逆行列は偶然にも
\[
S^{-1} = S
\]
である（すなわち $S$ は直交行列）．これより
\[
S^{-1}CS= \left[
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
\]
を得る．最後に，$A$ を三角化する正則行列 $P$ および $P^{-1}$ は次のように構成する．$E_{n}$ を $n$ 次単位行列として

$$
\begin{eqnarray}
P & = & Q
\left[
\begin{array}{c|c}
E_1 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & R
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|c}
E_2 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & S
\end{array}
\right] \\
& = &
\left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right] \\
& = &
\left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
P^{-1} & = & \left[
\begin{array}{c|c}
E_2 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & S^{-1}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|c}
E_1 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & R^{-1}
\end{array}
\right] Q^{-1} \\
& = &
\frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array}
\right] \\
& = &
\frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 4 \\
-2 & 4 & 4 & 0
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
$$

である．この $P$ を用いて計算すれば
\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right]
\]
となって，無事に上三角化ができた．

20190519 更新
20200208 誤字修正