$f(z)$ を領域 $D$ で正則な関数とする．単純閉曲線 $C$ に囲まれた領域が $D$ に含まれるとき
$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$
が成り立つ．

$f(z)$ を円 $C$ およびその内部を含む開集合で正則な関数とする．正の整数 $n$ と $C$ の内部の点 $z_0$ に対して
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$$
が成り立つ．

$a\in \mathbb{C}$ とする．$a$ を除く $a$ の近傍で正則な関数 $f(z)$ が
$$f(z)=\cdots +\frac{a_{-2}}{(z-a{)}^2}+\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a{)}^2+\cdots$$
と Laurent 展開されるとき，$1/(z-a)$ の係数 $a_{-1}$ を $f(z)$ の $a$ における留数といい
$$\underset{z=a}{\text{Res}}f(z),\text{Res}[f,a]$$
などと表す．

点 $a$ が $f(z)$ の $m$ 位の極であるとき
$$\underset{z=a}{\text{Res}}f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}((z-a{)}^{m}f(z))$$
が成り立つ．

$D$ を単純閉曲線 $C$ で囲まれた領域とする．$f(z)$ が $D$ に含まれる孤立特異点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ を除いて $D\cup C$ で正則であるとき
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}f(z)$$
が成り立つ．

$${\int }_0^{2\pi }f(\cos \theta ,\sin \theta )d\theta ={\oint }_{|z|=1}f(\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}),\frac{1}{2i}(z-\frac{1}{z}))\frac{1}{iz}dz$$

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$Q(z)$ の上半平面 $\{\text{Im}(z)>0\}$ に含まれる零点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ に対して
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2\pi i\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}\frac{P(z)}{Q(z)}$$
が成り立つ．

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$Q(z)$ の上半平面 $\{\text{Im}(z)>0\}$ に含まれる零点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ と $\lambda >0$ に対して

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{P(x)}{Q(x)}\cos xdx& =\text{Re}\left(2\pi i\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}\left(\frac{P(z)}{Q(z)}{e}^{i\lambda z}\right)\right),\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{P(x)}{Q(x)}\sin xdx& =\text{Im}\left(2\pi i\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}\left(\frac{P(z)}{Q(z)}{e}^{i\lambda z}\right)\right)\end{array}$$

が成り立つ．

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$Q(z)$ の原点及び実軸を除いた複素平面 $\mathbb{C}\setminus [0,\mathrm{\infty })$ に含まれる零点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ と $0<\alpha <1$ に対して
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{P(x)}{Q(x)}{x}^{-\alpha }dx=\frac{2\pi i}{1-e^{-\alpha \pi i}}\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}\left(\frac{P(z)}{Q(z)}{z}^{-\alpha }\right)$$
が成り立つ．

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な実数係数多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$Q(z)$ の原点及び実軸を除いた複素平面 $\mathbb{C}\setminus [0,\mathrm{\infty })$ に含まれる零点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ に対して
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{P(x)}{Q(x)}\log xdx=-\frac{1}{2}\text{Re}\left(\sum _{k=1}^n\underset{z=a_k}{\text{Res}}(\frac{P(z)}{Q(z)}(\log z{)}^2)\right)$$
が成り立つ．

$a\in \mathbb{C}$ とする．$0\leqq R_1<R_2$ に対して，領域 $D=\{z\mid R_1<|z-a|<R_2\}$ で正則な関数 $f(z)$ が
$$f(z)=\cdots +\frac{a_{-2}}{(z-a{)}^2}+\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a{)}^2+\cdots$$
と Laurent 展開されるとき，任意の $R_1<R<R_2$ に対して
$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^2{R}^{2n}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|f(a+R{e}^{i\theta }){|}^{2}d\theta$$
が成り立つ．

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$f(z)=P(z)/Q(z)$ の極 $a_1,a_2,\dots ,a_{\ell }$ に対して

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)& =-\sum _{k=1}^{\ell }\underset{z=a_k}{\text{Res}}(\pi f(z)\cot \pi z),\\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)& =-\sum _{k=1}^{\ell }\underset{z=a_k}{\text{Res}}(\frac{\pi f(z)}{\sin \pi z})\end{array}$$

が成り立つ．

$P(x)$ 及び $Q(x)$ は互いに素な多項式で，次の条件を満たすとする：

このとき，$f(z)=P(z)/Q(z)$ の極 $a_1,a_2,\dots ,a_{\ell }$ に対して

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n+\frac{1}{2})& =\sum _{k=1}^{\ell }\underset{z=a_k}{\text{Res}}(\pi f(z)\tan \pi z),\\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n+\frac{1}{2})& =\sum _{k=1}^{\ell }\underset{z=a_k}{\text{Res}}(\frac{\pi f(z)}{\cos \pi z})\end{array}$$

が成り立つ．