\[
\sin{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}=\cos{x}
\]
であるから
\[
\begin{align*}
f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{x}\right)
&= \frac{1}{\sin^2{x}}+\frac{1}{\cos^2{x}}
= \frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\sin^2{x}\cos^2{x}} \\
&= \frac{4}{4\sin^2{x}\cos^2{x}}
= \frac{4}{\sin^2{2x}}
= 4f(2x)
\end{align*}
\]
より，等式 $(\diamondsuit)$ が示された．

\[
g(x) = \frac{1}{\tan^2{x}} = \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} = \frac{1-\sin^2{x}}{\sin^2{x}} = \frac{1}{\sin^2{x}}-\frac{\sin^2{x}}{\sin^2{x}}=f(x)-1
\]
より，等式 $(\clubsuit)$ が示された．

法則性を確認するため，$S_1, \, S_2, \, S_3$ を計算すると
\[
S_1 = \sum_{k=1}^{1}f\left(\frac{k\pi}{4}\right)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sin^2{(\pi/4)}}=\frac{1}{1/2}=2,
\]
\[
\begin{align*}
S_2
&=\sum_{k=1}^{3}f\left(\frac{k\pi}{8}\right)=f\left(\frac{\pi}{8}\right)+f\left(\frac{2\pi}{8}\right)+f\left(\frac{3\pi}{8}\right)\\
&=4f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f\left(\frac{\pi}{4}\right)=4S_1+2=10
\end{align*}
\]
ここで，３つ目の等号で等式 $(\diamondsuit$) を用いた．$k=1$ と $k=3$ の項がペアである．
\[
\begin{align*}
S_3
&=\sum_{k=1}^{7}f\left(\frac{k\pi}{16}\right)\\
&=f\left(\frac{\pi}{16}\right)+f\left(\frac{2\pi}{16}\right)+f\left(\frac{3\pi}{16}\right)+f\left(\frac{4\pi}{16}\right)+f\left(\frac{5\pi}{16}\right)+f\left(\frac{6\pi}{16}\right)+f\left(\frac{7\pi}{16}\right)\\
&=4f\left(\frac{\pi}{8}\right)+4f\left(\frac{2\pi}{8}\right)+4f\left(\frac{3\pi}{8}\right)+f\left(\frac{\pi}{4}\right)=4S_2+2=42
\end{align*}
\]
となる．ここで，３つ目の等号で等式 $(\diamondsuit$) を用いた．$k=1$ と $k=7$，$k=2$ と $k=6$，$k=3$ と $k=5$ の項がペアである．これを踏まえて $S_{n+1}$ と $S_n$ の関係を調べると
\[
\begin{align*}
S_{n+1}
&= \sum_{k=1}^{2^{n+1}-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+2}}\right) \\
&= \sum_{k=1}^{2^n-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+2}}\right)+f\left(\frac{2^n\pi}{2^{n+2}}\right)+\sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+2}}\right) \\
&= \sum_{k=1}^{2^n-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+2}}\right)+f\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sum_{\tilde{k}=1}^{2^n-1}f\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\tilde{k}\pi}{2^{n+2}}\right) \\
&= 4\sum_{k=1}^{2^n-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right)+f\left(\frac{\pi}{4}\right)\\
&= 4S_n+2
\end{align*}
\]
が判る．ここで，３つ目の等号では $\tilde{k}=2^{n+1}-k$ とおいた．この漸化式と $S_1=2$ から一般項を求めると
\[
S_n=\frac{2}{1-4}+\left(2-\frac{2}{1-4}\right)4^{n-1}=\frac{2}{3}(4^n-1)
\]
を得る．

等式 $(\clubsuit)$ を用いれば，数列 $\{T_n\}$ の一般項は
\[
T_n=\sum_{k=1}^{2^n-1}g\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right)=\sum_{k=1}^{2^n-1}f\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right)-\sum_{k=1}^{2^n-1}1=S_n-2^n+1
\]
である．

$0 < \theta < \pi/2$ のとき $0<\sin{\theta}<\theta<\tan{\theta}$ が成り立つから
\[
g(\theta)=\frac{1}{\tan^2{\theta}}<\frac{1}{\theta^2}<\frac{1}{\sin^2{\theta}}=f(\theta)
\]
が成り立つ．いま，非負整数 $n$ と $k=1,2,\dots,2^n-1$ に対して
\[
0 < \frac{k\pi}{2^{n+1}} < \frac{\pi}{2}
\]
が成り立つから

\[
g\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right) < \left(\frac{2^{n+1}}{k\pi}\right)^2=\frac{4^{n+1}}{k^2\pi^2} < f\left(\frac{k\pi}{2^{n+1}}\right)
\]
である．$k=1,2,\dots,2^n-1$ について足し合わせれば
\[
S_n-2^n+1 = T_n < \frac{4^{n+1}}{\pi^2}\sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k^2} < S_n
\]
より
\[
\frac{\pi^2S_n}{4^{n+1}}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1} < \sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k^2} < \frac{\pi^2S_n}{4^{n+1}}
\]
が成り立つ．ここで
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{3 \cdot 4}-\frac{2}{3 \cdot 4^{n+1}}\right)=\frac{1}{6}
\]
であるから，はさみうちの原理より
\[
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}
\]
を得る．

\[
a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}
\]
とおくと
\[
b_n=a_{2^n-1}
\]
は $\{a_n\}$ の部分列であり，$(\heartsuit)$ は
\[
\lim_{n \to \infty}b_n=\frac{\pi^2}{6}
\]
であることを示しているが
\[
\lim_{n \to \infty}a_n=\frac{\pi^2}{6} \tag{$\spadesuit$}
\]
は保証されない．$(\spadesuit)$ を示すためには，例えば以下の定理がある：

$\{a_n\}$ は単調増加な数列であり
\[
a_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1+\int_{1}^{N}\frac{dx}{x^2}=2-\frac{1}{N}<2
\]
であるから上に有界である．したがって $\{a_n\}$ は収束するから，その極限値は $\pi^2/6$ である．