準有名角の三角比


有名角( $\theta=30^\circ, \, 45^\circ, \, 60^\circ$ )および準有名角( $\theta=15^\circ, \, 18^\circ, \, 36^\circ, \dots$)を含む三角比の表と,準有名角の比を求め方をまとめる.

表が大きくなってしまうため,$0^\circ \leqq \theta \leqq 45^\circ$ の範囲で作成する.

 
スポンサーリンク

準有名角の三角比表

\[
\begin{array}{c|cc}
& \sin & \cos & \tan & \textrm{rad}\\ \hline \hline
0^\circ & 0 & 1 & 0 & 0\\
15^\circ & \displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} & \displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} & 2-\sqrt{3} & \displaystyle\frac{\pi}{12} \\
18^\circ & \displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{4} & \displaystyle\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \displaystyle\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5} & \displaystyle\frac{\pi}{10} \\
22.5^\circ & \displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & \sqrt{2}-1 & \displaystyle\frac{\pi}{8} \\
30^\circ & \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} & \displaystyle\frac{\pi}{6}\\
36^\circ & \displaystyle\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{4} & \displaystyle\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5} & \displaystyle\frac{\pi}{5} \\
45^\circ & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \displaystyle\frac{\pi}{4}
\end{array}
\]

※ $\textrm{rad}$ は弧度法で表したときの値.

※ $\phi$(ファイ)を黄金数 $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ とすると,
\[
\sin{18^\circ} = \frac{1}{2\phi}, \quad \cos{36^\circ} = \frac{\phi}{2}
\]
が成り立つ.

$15^\circ$ の三角比を求める

 

幾何的な導出

詳細(click)

$\textrm{AB}=2, \, \textrm{BC}=\sqrt{3}, \, \textrm{CA}=1$ の直角三角形を考える.半直線 $\textrm{CB}$ 上に,$\textrm{BD}=2$ となるように点 $\textrm{D}$ をとると,三角形 $\textrm{ABD}$ は $\textrm{AB} = \textrm{BD} = 2$ の二等辺三角形となるから,$\angle \textrm{BAD} = \angle \textrm{BDA} = 15^\circ$ である.

直角三角形 $\textrm{ADC}$ に対する三平方の定理より

\[
\begin{align*}
\textrm{AD}^2
&= 1^2 + (2+\sqrt{3})^2 \\
&= 8+4\sqrt{3} \\
&= 2\left(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\right) \\
&= 2(1 + \sqrt{3})^2
\end{align*}
\]
が成り立つから,$\textrm{AD} > 0$ に注意して
\[
\textrm{AD} = \sqrt{2}(1+\sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}.
\]

したがって,三角比の定義より
\[
\begin{align*}
\sin{15^\circ}
&= \frac{\textrm{AC}}{\textrm{AD}} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \\
\cos{15^\circ}
&= \frac{\textrm{DC}}{\textrm{AD}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \\
\tan{15^\circ}
&= \frac{\textrm{AC}}{\textrm{DC}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} \\
\end{align*}
\]
を得る.

//
 

$18^\circ$ の三角比を求める

 

幾何的な導出

詳細(click)

$\angle \textrm{BAC} = 36^\circ, \, \textrm{AB}=\textrm{AC}, \, \textrm{BC} = 1$ の二等辺三角形を考える.$\angle \textrm{ABC}$ の角の二等分線と線分 $\textrm{AC}$ の交点を $\textrm{D}$ とおく.

三角形 $\textrm{DAB}, \, \textrm{BCD}$ はそれぞれ二等辺三角形となるから
\[
\textrm{AD} = \textrm{DB} = \textrm{BC} = 1
\]
が成り立つ.$\textrm{AB} = \textrm{AC} = x$ とおくと,角の二等分線の性質より
\[
1 = \textrm{AD} = \textrm{AC} \times \frac{\textrm{AB}}{\textrm{AB} + \textrm{BC}} = \frac{x^2}{1+x}
\]
であるから
\[
x^2-x-1=0
\]
が成り立つ.$x = \textrm{AB} > 0$ に注意して
\[
x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
を得るから,線分 $\textrm{BC}$ の中点を $\textrm{M}$ とすれば,三角比の定義より
\[
\sin{18^\circ} = \frac{\textrm{BM}}{\textrm{AB}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}
\]
である.また
\[
\textrm{CD} = \textrm{AC}-\textrm{AD} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}
\]
であるから,線分 $\textrm{CD}$ の中点を $\textrm{N}$ とすれば
\[
\cos{36^\circ} = \frac{\textrm{AN}}{\textrm{AB}} = \frac{\textrm{AD} + \textrm{DN}}{\textrm{AB}} = \frac{1+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
\]
である.残る三角比は相互関係の式から計算する.

//
 

代数的な導出

詳細(click)

・$\theta$ を弧度法で表記する.$\sin{\theta} = x$ とおくと,加法定理より
\[
\begin{align*}
\sin{3\theta}
&= \sin{(\theta+2\theta)} \\
&= \sin{\theta}\cos{2\theta}+\cos{\theta}\sin{2\theta} \\
&= \sin{\theta}(1-2\sin^2{\theta})+2\sin{\theta}\cos^2{\theta} \\
&= \sin{\theta}(1-2\sin^2{\theta})+2\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta}) \\
&= 3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta} \\
&= 3x-4x^3
\end{align*}
\]
が成り立つことに注意する(3倍角の公式).

・$\sin{18^\circ}$ を求める.$\theta = \pi/10$ とおくと
\[
3\theta + 2\theta = 5\theta = \frac{\pi}{2}
\]
より
\[
\sin{3\theta}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}=\cos{2\theta}
\]
が成り立つ.3倍角の公式より
\[
3x-4x^3=\sin{3\theta}=\cos{2\theta}=1-2\sin^2{x}=1-2x^2
\]
であるから,$x=\sin{\theta}=\sin{(\pi/10)}$ は
\[
4x^3-2x^2-3x+1=0
\]
を満たす.左辺は $x=1$ を代入すると $0$ となるから,因数定理より
\[
(x-1)(4x^2+2x-1)=0
\]
であり,この方程式の解は
\[
x=1, \, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}
\]
と判る.$0 < \sin{18^\circ} < 1$ であるから,
\[
\sin{18^\circ} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}
\]
を得る.

・$\cos{36^\circ}$ を求める.$\theta = \pi/5$ とおくと

\[
3\theta + 2\theta = 5\theta = \pi
\]
より
\[
\sin{3\theta}=\sin{(\pi-2\theta)}=\sin{2\theta}
\]
が成り立つ.3倍角の公式より
\[
3x-4x^3=\sin{3\theta}=\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2x\cos{\theta}
\]
であるから,$x=\sin{\theta}=\sin{(\pi/5)}$ は
\[
4x^3+(2\cos{\theta}-3)x=0
\]
を満たす.$x=\sin{(\pi/5)} \neq 0$ であるから
\[
4x^2+2\cos{\theta}-3=0
\]
としてよい.$y=\cos{(\pi/5)}$ とおくと
\[
0=4x^2+2\cos{\theta}-3=4(1-\cos^2{\theta})+2\cos{\theta}-3=-4y^2+2y+1
\]
が成り立つ.ゆえに $y$ の値は
\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\]
と判る.$y=\cos{(\pi/5)}>0$であるから,
\[
\cos{36^\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}
\]
を得る.

残る三角比は相互関係の式から計算する.

//
 

20200208 更新


スポンサーリンク