Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)


指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
の形で表すことができる.ただし,形式的に
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に($x \geqq 0$ の範囲で)やってみる.

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Lemma 1.1
自然数 $\ell$ に対して
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\ell^n}{n!} = 0
\]
が成り立つ.
証明1
Lemma 1.2
$ 0 $ 以上の実数 $p$ に対して
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0
\]
が成り立つ.
証明
Lemma 1.3
$ 0 $ 以上の実数 $x$ に対して,数列 $\{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x} t^ne^{-t}\,dt
\]
で定める.このとき,次の(1),(2),(3)が成り立つ.

(1) $\displaystyle{a_1 = 1-\frac{x+1}{e^x}}$
(2) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n = 0}$
(3) $\displaystyle{a_{n+1} = a_{n}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}}$

証明
Th 1.4(指数関数のMaclaurin展開)
$x \geqq 0$ とする.次の等式が成り立つ.
\[
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
ただし,形式的に $0! = 1,~~0^0 = 1$ であるとする.
コメント 証明

上の結果を用いると,次のような無限級数の値がわかる.
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{6^n}{n!} = e^6 ,\quad
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\log{2})^n}{n!} = 2 ,\quad
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\cdot2^n} = \sqrt{e}.
\]


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