Maclaurin展開#1 指数関数


指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表すことができる.ただしここでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える.この右辺の級数を得ることを,指数関数 $e^x$ を Maclaurin(マクローリン)展開(あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開)する という.上の等式は任意の実数で成り立つことが知られているが,今回は $x \geqq 0$ の場合に成り立つことを高校数学の範囲で示す手順についてのメモ.

 
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計算の方針と概略

$0$ 以上の実数 $x$ に対して,数列
\[
a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x} t^ne^{-t}\,dt \quad (n=1,2,\ldots)
\]
を考える.

  • $a_1$ の値を求める
  • $a_n$ の極限を求める
  • $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を求める
  • 等式 $(\spadesuit)$ を示す
  •  

    計算

    $a_1$ の値を求める

     
    詳細(click)

    部分積分法により
    $$
    \begin{eqnarray*}
    a_1 & = & \frac{1}{1!}\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt = \Bigl[-te^{-t}\Bigr]_{0}^{x} + \int_{0}^{x}e^{-t}\,dt \\
    & = & -\frac{x}{e^x} + \Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{x} = 1-\frac{x+1}{e^x}.
    \end{eqnarray*}
    $$

    //
     

    $a_n$ の極限を求める

     
    詳細(click)

    $0\leqq x \leqq 1$ のとき,$0 \leqq t \leqq x$ において
    \[
    0 \leqq t^ne^{-t} \leqq e^{-t}
    \]
    であるから
    \[
    0 \leqq a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \leqq \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt = \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{e}\right)
    \]
    が成り立つ.ゆえにはさみうちの原理を適用して
    \[
    \lim_{n \to \infty}a_n = 0.
    \]
    $x \geqq 1$ のとき,$0 \leqq t \leqq x$ において
    \[
    0 \leqq t^ne^{-t} \leqq x^ne^{-t}
    \]
    であるから
    \[
    0 \leqq a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \leqq \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}x^ne^{-t}\,dt = \frac{x^n}{n!}\left(1-\frac{1}{e^x}\right)
    \]
    が成り立つ.
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{x^n}{n!} = 0
    \]
    であるから(証明は下部の補足を参照),はさみうちの原理を適用して
    \[
    \lim_{n \to \infty}a_n = 0
    \]
    を得る.

    //
     

    $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を求める

     
    詳細(click)

    部分積分法により

    $$
    \begin{eqnarray*}
    a_{n+1} & = & \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{x}t^{n+1}e^{-t}\,dt \\
    & = & \frac{1}{(n+1)!}\left(\Bigl[-t^{n+1}e^{-t}\Bigr]_{0}^{x} + \int_{0}^{x}(n+1)t^ne^{-t}\,dt\right) \\
    & = & \frac{1}{(n+1)!}\cdot\left(-\frac{x^{n+1}}{e^x}\right) + \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \\
    & = & a_n-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}
    \end{eqnarray*}
    $$

    が成り立つ.

    //
     

    等式 $(\spadesuit)$ を示す

     
    詳細(click)

    先の結果より,階差数列の考え方を用いて数列 $\{a_n\}$ は $N \geqq 2$ のとき
    \[
    a_N = a_1 + \sum_{n=1}^{N-1}\left(-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}\right) = 1-\frac{x+1}{e^x}-\frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{N-1}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
    \]
    を満たすことが判る.ここで $N \to \infty$ の極限を考えれば
    $$
    \begin{eqnarray*}
    0 & = & 1-\frac{x+1}{e^x}-\frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\
    \frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & 1-\frac{x+1}{e^x} \\
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & e^x-x-1 \\
    1 + x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & e^x \\
    \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & e^x \\
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & e^x
    \end{eqnarray*}
    $$
    より求める式が示された.

     

    特殊値

    例えば次のような無限級数の値が判る.

    \[
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{6^n}{n!} = e^6 ,\quad
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\log{2})^n}{n!} = 2 ,\quad
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\cdot2^n} = \sqrt{e}.
    \]

     

    補足

    Lemma 1.2

    $ 0 $ 以上の実数 $p$ に対して
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0
    \]
    が成り立つ.

     
    証明(click)
  • まずは $p = \ell$ が自然数の場合について示す.
  • $n$ は $\ell$ より十分に大きい自然数とする.

    $$
    \begin{eqnarray*}
    0 \leqq \frac{\ell^n}{n!} & = & \frac{\ell \cdot \ell \cdot \ell \cdots \ell \cdot \ell \cdot \ell \cdots \ell \cdot \ell \cdot \ell }{n(n-1)(n-2)\cdots(\ell+1)\ell (\ell-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1} \\
    & = & \frac{\ell}{n} \cdot \frac{\ell}{n-1} \cdot \frac{\ell}{n-2} \cdots \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell} \cdot \frac{\ell}{\ell-1} \cdots \frac{\ell}{3} \cdot \frac{\ell}{2} \cdot \frac{\ell}{1} \\
    & \leqq & \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell+1} \cdots \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell} \cdot \frac{\ell}{\ell-1} \cdots \frac{\ell}{3} \cdot \frac{\ell}{2} \cdot \frac{\ell}{1} \\
    & = & \left(\frac{\ell}{\ell+1}\right)^{n-\ell}\cdot\frac{\ell^\ell}{\ell !} \\
    & = & \left(\frac{\ell}{\ell + 1}\right)^n \cdot \frac{(\ell+1)^\ell}{\ell !}
    \end{eqnarray*}
    $$
    が成り立つ.ここで $\displaystyle 0 < \frac{\ell}{\ell + 1} < 1$ であるから
    \[
    \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\ell}{\ell + 1}\right)^n = 0
    \]
    である.したがって,はさみうちの原理より
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\ell^n}{n!} = 0
    \]
    が成り立つ.

  • 次に $p$ が実数の場合について示す.
  • $0 \leqq p < 1$ のときは
    \[
    \lim_{n \to \infty}p^n = 0
    \]
    であるから明らかに成り立つ.$p \geqq 1$ のとき
    \[
    \ell \leqq p < \ell + 1
    \]
    を満たす自然数 $\ell$ がただ1つ存在する.この $\ell$ に対して
    \[
    \ell^n \leqq p^n < (\ell+1)^n
    \]
    が成り立つから
    \[
    \frac{\ell^n}{n!} \leqq \frac{p^n}{n!} < \frac{(\ell + 1)^n}{n!}
    \]
    も成立する.$n \to \infty$ の極限を考えれば,自然数のときの結果とはさみうちの原理より
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0
    \]
    である.

     

    20190519 更新


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