Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)


指数関数 e^x

    \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

の形で表すことができる.ただし,形式的に

    \[ 0! = 1,~~~~0^0 = 1 \]

としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは x=0 の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に(x \geqq 0 の範囲で)やってみる.

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Lemma 1.1
自然数 \ell に対して

    \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\ell^n}{n!} = 0 \]

が成り立つ.

証明1

Lemma 1.2
0 以上の実数 p に対して

    \[ \lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0 \]

が成り立つ.

証明

Lemma 1.3
0 以上の実数 x に対して,数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots)

    \[ a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x} t^ne^{-t}\,dt \]

で定める.このとき,次の(1),(2),(3)が成り立つ.

(1) \displaystyle{a_1 = 1-\frac{x+1}{e^x}}
(2) \displaystyle{\lim_{n \to \infty}a_n = 0}
(3) \displaystyle{a_{n+1} = a_{n} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}}

証明

Th 1.4(指数関数のMaclaurin展開)
x \geqq 0 とする.次の等式が成り立つ.

    \[ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

ただし,形式的に 0! = 1,~~0^0 = 1 であるとする.

コメント

証明


上の結果を用いると,次のような無限級数の値がわかる.

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{6^n}{n!} & = & e^6 ,~~~~ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\log{2})^n}{n!} & = & 2 ,~~~~ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\cdot2^n} & = & \sqrt{e}. \]


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