n項間の漸化式#1


n 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.2項,3項間はチャート式にも載っているレベル.今回は 4項間漸化式とした.なお,線形代数(大学数学)の問題として用意したが,高校数学の範囲で答えを出されてしまった.偉大な知人に敬礼しつつ,改めて問題提示をする.

漸化式

    \[ a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n - 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を求めてみよう.線形代数を用いた誘導を付けている.

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Question 1
漸化式

    \[ a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n - 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を以下の手順で求めよ.
(1) 数列 \{b_n\}

    \[ b_{n} = a_{n+1} - a_{n} \]

で定めるとき,b_{n+3}b_{n+2},~b_{n+1},~b_{n} を用いて表せ.また,b_1,b_2,b_3 の値を求めよ.
(2) 3 次正方行列 A

    \[   A = \left[     \begin{array}{ccc}       -2 & 1 & 2 \\       1 & 0 & 0 \\       0 & 1 & 0     \end{array}   \right] \]

とする.P^{-1}AP が 対角行列となるような正則行列 P 及び P^{-1} を求めよ.
(3) A^n を求めよ.
(4) ベクトル \bm{x}_n

    \[ \bm{x}_n = \left[ \begin{array}{c} b_{n+2} \\ b_{n+1} \\ b_n \end{array} \right] \]

とするとき,\bm{x}_{n+1} = A\bm{x}_n を示し,数列 \{b_n\} の一般項を求めよ.
(5) 数列 \{a_n\} の一般項を求めよ.

解答

(1) 解答


(2) 解答



(3) 解答



(4) 解答


(5) 解答


特性方程式と行列の固有値

上の例での計算結果から,漸化式に定数項を含まない

    \[ a_{n+\ell} = p_1a_{n} + p_2a_{n+1} + p_3a_{n+2} + \cdots + p_{n+\ell}a_{n+\ell-1} \]

の形の\ell + 1項間漸化式から得られる数列 \{a_n\} の一般項は,(4)のようにして得られる \ell \times \ell 行列 A の固有値 \alpha_1 , \alpha_2, \ldots \alpha_\ell に対して

    \[ a_n = c_1\alpha_{1}^{n-1} + c_2\alpha_{2}^{n-1} + \cdots + c_\ell\alpha_\ell^{n-1}~~~~(c_1,c_2,\ldots,c_\ell \in \mathbb{R}) \]

の形で与えられる.そしてその固有値は方程式

    \[ x^{\ell} = p_1 + p_2x + p_3x^2 + \cdots + p_{n+\ell}x^{\ell - 1} \]

の解と一致する.実際,3項間の漸化式

    \[ a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n \]

に対して

    \[ \bm{x}_{n} = \left[ \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_{n} \end{array} \right] \]

とすると

    \[ \bm{x}_{n+1} = \left[ \begin{array}{c} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} pa_{n+1} + qa_n \\ a_{n+1} \end{array} \right] = \left[     \begin{array}{cc}       p & q  \\       1 & 0      \end{array}   \right] \left[ \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_{n} \end{array} \right] = A\bm{x}_n \]

とできて

    \[ |xE-A| = x^2 + px + q \]

を得ることができる.なお,固有値が重複した場合は考えていない.また,行列が対角化できない場合は Jordan 標準形を用いて A^n を求めればよい.

Question 2
漸化式

    \[ a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} - a_n,~~~a_1 = 0,~~~a_2 = -1,~~~a_3 = 1 \]

で定められる数列 \{a_n\}~~~(n=1,2,3,\ldots) の一般項を求めよ.

解答は時間があれば後日こっそり載せておく.


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