n項間の漸化式#1


$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.2項,3項間はチャート式にも載っているレベル.今回は 4項間漸化式とした.なお,線形代数(大学数学)の問題として用意したが,高校数学の範囲で答えを出されてしまった.偉大な知人に敬礼しつつ,改めて問題提示をする.

漸化式
\[
a_{n+3} =-2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n-1, \quad a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めてみよう.線形代数を用いた誘導を付けている.

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Question 1
漸化式
\[
a_{n+3} =-2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n-1, \quad a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots) $ の一般項を以下の手順で求めよ.
(1) 数列 $\{b_n\}$ を
\[
b_{n} = a_{n+1}-a_{n}
\]
で定めるとき,$b_{n+3}$ を $b_{n+2},~b_{n+1},~b_{n}$ を用いて表せ.また,$b_1,b_2,b_3$ の値を求めよ.
(2) $3$ 次正方行列 $A$ を
\[
A = \left[
\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\]
とする.$P^{-1}AP$ が 対角行列となるような正則行列 $P$ 及び $P^{-1}$ を求めよ.
(3) $A^n$ を求めよ.
(4) ベクトル $\boldsymbol{x}_n$ を
\[
\boldsymbol{x}_n = \left[
\begin{array}{c}
b_{n+2} \\
b_{n+1} \\
b_n
\end{array}
\right]
\]
とするとき,$\boldsymbol{x}_{n+1} = A\boldsymbol{x}_n$ を示し,数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ.
(5) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ.

解答

$(1)$ 解答

$(2)$ 解答

$(3)$ 解答

$(4)$ 解答

$(5)$ 解答

特性方程式と行列の固有値

上の例での計算結果から,漸化式に定数項を含まない
\[
a_{n+\ell} = p_1a_{n} + p_2a_{n+1} + p_3a_{n+2} + \cdots + p_{n+\ell}a_{n+\ell-1}
\]
の形の$\ell + 1$項間漸化式から得られる数列 $\{a_n\}$ の一般項は,(4)のようにして得られる $\ell \times \ell$ 行列 $A$ の固有値 $\alpha_1 , \alpha_2, \ldots \alpha_\ell$ に対して
\[
a_n = c_1\alpha_{1}^{n-1} + c_2\alpha_{2}^{n-1} + \cdots + c_\ell\alpha_\ell^{n-1} \quad (c_1,c_2,\ldots,c_\ell \in \mathbb{R})
\]
の形で与えられる.そしてその固有値は方程式
\[
x^{\ell} = p_1 + p_2x + p_3x^2 + \cdots + p_{n+\ell}x^{\ell-1}
\]
の解と一致する.実際,3項間の漸化式
\[
a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n
\]
に対して
\[
\boldsymbol{x}_{n} = \left[
\begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_{n}
\end{array}
\right]
\]
とすると
\[
\boldsymbol{x}_{n+1} = \left[
\begin{array}{c}
a_{n+2} \\
a_{n+1}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
pa_{n+1} + qa_n \\
a_{n+1}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
p & q \\
1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_{n}
\end{array}
\right]
=
A\boldsymbol{x}_n
\]
とできて
\[
|xE-A| = x^2 + px + q
\]
を得ることができる.なお,固有値が重複した場合は考えていない.また,行列が対角化できない場合は Jordan 標準形を用いて $A^n$ を求めればよい.

Question 2
漸化式
\[
a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1}-a_n,~~~a_1 = 0,~~~a_2 = -1,~~~a_3 = 1
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots) $ の一般項を求めよ.

解答は時間があれば後日こっそり載せておく.
(2018/05/11 追記)n項間の漸化式#3 に解答の載せた.


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