積分メモ#3

Result
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{a^2\cos^2{x} + b^2\sin^2{x}}=\frac{2\pi}{ab}~~~~~(ab \neq 0)
\]
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逆行列の公式#1

$n$ 次正方行列 $P$ が正則であるとき,その逆行列をブロック分解した形で求める方法についてのメモ.手計算では役に立つことは無いだろうが,対象となる行列 $P$ が対称行列であったりすると,応用の幅が広がる.確率統計,機械工学,制御系統のテキストには類似した公式が載っているようだ.なお,今回は
『Pattern Recognition and Machine Learning』(著) Christopher M. Bishop で見かけたものである.触れたことがある人には「PRML」という略称で通じるらしい.

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Stirlingの公式(スターリング――)

Stirling の公式(Stirling の近似)は,$n!$ の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその一つ,
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]
についてのメモ.

なお,今回の内容は 大阪大学 数学科 挑戦枠 の2015入試の問題 を改題したものを利用している.

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行列の上三角化

$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と,対応する固有空間の次元が一致するとき(あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき),$A$ は対角化可能(diagonalizable)である.一方,$A$ が対角化可能でないときでも,$A$ を上三角化(triangular)することができる.すなわち
\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1&&&&\\
&\lambda_2&&*&\\
&&\ddots&\\
&0&&\ddots&\\
&&&&\lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する.ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値.

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが,実際に計算した例を見ることは少ない.理由は簡単で,難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば,それは上三角行列にほかならないからである.

今回はもし,なんらかの理由で正則行列 $P$ によって Jordan 標準形ではない上三角行列を構成する必要がある場合のための計算メモ.なお,$P$ は正則行列というだけではなく,直交行列まで制限することができるが,今回はやらない.

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人口予測のモデル#2

前回の記事では Malthus による人口予測のモデルを扱った.前回のモデルには多くの問題点があったが,そのなかの一つ,人口が限りなく増加してしまうという点について,1837年にオランダの生物学者 Verhulst(フェルフルスト)が 人口過密 を考慮に入れた修正を提案した.

Model 2.1(Verhulst の人口モデル)
時刻 $t$ におけるある国の総人口 $N = N(t)$ は,時刻 $t=0$ における人口 $N_0$ と定数 $\gamma , M$ を用いて
\[
N = \frac{M}{1 + \left(\frac{M}{N_0}-1\right)e^{-\gamma t}}
\]
と表されると予測できる.

 

今回はこのモデルについてのメモ.
 
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