行列の上三角化


$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と,対応する固有空間の次元が一致するとき(あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき),$A$ は対角化可能(diagonalizable)である.一方,$A$ が対角化可能でないときでも,$A$ を上三角化(triangular)することができる.すなわち

\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する.ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値.

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが,実際に計算した例を見ることは少ない気がする.難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば,それが上三角化行列になるからだろうか.

今回は正則行列 $P$ によって Jordan 標準形ではない上三角行列を構成する必要がある場合のための計算メモ.
$P$ が存在することの証明はせず,途中の計算も大幅に省略した.時間があればいずれ追記するかもしれない.なお,さらに強い条件として $P$ を直交(ユニタリ)行列にすることもできる(Schur分解).

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上三角化の計算

Question 1

4次正方行列
\[
A = \left[
\begin{array}{cccc}
-3 & 4 & 4 & -4 \\
2 & -4 & -5 & 1 \\
-3 & 5 & 6 & -3 \\
-3 & 5 & 7 & -3
\end{array}
\right]
\]
に対して
\[
P^{-1}AP
\]
が上三角行列となるような正則行列 $P$ を求めよ.

計算の方針と概略

  • 固有値(今回は重複度 $4$ )と固有ベクトルを求める
  • 固有ベクトルが $4$ つ得られないので,適当なベクトルを並べて正則行列を構成する
  • 構成した正則行列で相似変換すると $1$ 列目が上三角行列の形になる
  • 行列全体が上三角行列になるまで繰り返す

計算

固有値を求める.
\[
\det{(xE-A)} = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x+1)^4
\]
であるから,固有値 $\lambda$ とその重複度 $\alpha$ は
\[
\lambda = -1~~(\alpha = 4)
\]
である.固有値 $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルを考える.
\[
\lambda E-A \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -4 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
より,固有ベクトルとして,たとえば
\[
\boldsymbol{v_1} = \left[
\begin{array}{c}
4 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]
\]
が選べる.固有値 $-1$ に対する固有ベクトルが $4$ 個とれていないから,この時点で対角化は不可能.

ここで,固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ と1次独立となるようなベクトルを任意に3個とる.このとり方によって最終的な上三角行列の $\ast$ 成分と正則行列 $P$ が変わるが,あとで逆行列が計算しやすいように,いまは
\[
\boldsymbol{e}_{2}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{3}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{4}^{(4)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
としよう.$\boldsymbol{e}_{i}^{(m)}$ は $ m $ 次元ベクトル空間を張る第 $i$ 基本ベクトルである.これらを順に並べた行列を
\[
Q = \left[\boldsymbol{v}_1 ~\boldsymbol{e}_{2}^{(4)} ~\boldsymbol{e}_{3}^{(4)} ~\boldsymbol{e}_{4}^{(4)} \right]
= \left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
とおく.1次独立なベクトルを選んで並べたのだったから,これは正則行列である.$Q^{-1}$ を掃き出し法(Gaussian elimination)により求めるが,うまく選んだので容易.
\[
\left[
\begin{array}{cccc|cccc}
4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
より
\[
Q^{-1}= \frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array}
\right]
\]
を得る.いま,実際に計算すると
\[
Q^{-1}AQ = \left[
\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -5 & -6 & 2 \\
0 & 4 & 5 & -2 \\
0 & 5 & 7 & -3
\end{array}
\right]
\]
を得る.これで1列目が目標の上三角行列と同じ形になった.次に,この結果から1行目と1列目を取り除いた行列を $B$ とする.すなわち
\[
B = \left[
\begin{array}{ccc}
-5 & -6 & 2 \\
4 & 5 & -2 \\
5 & 7 & -3
\end{array}
\right]
\]
である.先の手順を繰り返す.ここで,$B$ の固有値は $A$ の固有値から $Q^{-1}AQ$ の $(1,1)$ 成分を除いた3つになっていることに注意.今回は4つとも $-1$ だったので
\[
\det{(xE-B)} = (x+1)^3
\]
になっているはずである.$B$ の固有値 $-1$ に対する固有ベクトルを求めるから
\[
\lambda E – B \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
より,固有ベクトルとして,たとえば
\[
\boldsymbol{v_2} = \left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
-1
\end{array}
\right]
\]
が選べる.固有ベクトル $\boldsymbol{v}_2$ と1次独立となるようなベクトルを任意に2個とる.いまは
\[
\boldsymbol{e}_{2}^{(3)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right]~~,~~
\boldsymbol{e}_{3}^{(3)} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
としよう.これらを順に並べた行列を
\[
R = \left[\boldsymbol{v}_2 ~\boldsymbol{e}_{2}^{(3)} ~\boldsymbol{e}_{3}^{(3)}\right]
= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
とおく.これは正則行列である.$R^{-1}$ を掃き出し法により求める.
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \xrightarrow{行基本変形} \left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
より
\[
R^{-1}=\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
を得る.いま,実際に計算すると
\[
R^{-1}BR = \left[
\begin{array}{ccc}
-1 & -6 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\]
を得る.この結果から1行目と1列目を取り除いた行列を $C$ とする.すなわち
\[
C = \left[
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}
\right]
\]
である.$C$ の固有値は $-1$ で,重複度 2 である.固有値 $-1$ に対する固有ベクトルは
\[
\boldsymbol{v_3} = \left[
\begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array}
\right]
\]
が選べる.これと1次独立になるようなベクトルとして
\[
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right]
\]
を考える.これらを並べた行列を
\[
S = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right]
\]
とする.これはやはり正則行列で,逆行列は偶然にも
\[
S^{-1} = S
\]
である(すなわち $S$ は直交行列).これより
\[
S^{-1}CS= \left[
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
\]
を得る.最後に,$A$ を三角化する正則行列 $P$ および $P^{-1}$ は次のように構成する.$E_{n}$ を $n$ 次単位行列として

$$
\begin{eqnarray}
P & = & Q
\left[
\begin{array}{c|c}
E_1 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & R
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|c}
E_2 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & S
\end{array}
\right] \\
& = &
\left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right] \\
& = &
\left[
\begin{array}{cccc}
4 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
P^{-1} & = & \left[
\begin{array}{c|c}
E_2 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & S^{-1}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|c}
E_1 & \boldsymbol{0} \\ \hline
\boldsymbol{0} & R^{-1}
\end{array}
\right] Q^{-1} \\
& = &
\frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array}
\right] \\
& = &
\frac{1}{4}\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 4 \\
-2 & 4 & 4 & 0
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
$$

である.この $P$ を用いて計算すれば
\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right]
\]
となって,無事に上三角化ができた.

20190519 更新


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