指数関数のMaclaurin展開
指数関数 $e^x$ が
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表せることを $x \geqq 0$ の範囲で示す手順をまとめた．
等式 ($\spadesuit$) の右辺の級数を得ることを，指数関数 $e^x$ を Maclaurin 展開（あるいは $x=0$ の周りで Taylor 展開）するといい，右辺の級数を指数関数の Maclaurin 級数 とよぶ．
目次
導出
導出の準備
$0$ 以上の実数 $x$ に対して，数列
\[
a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x} t^ne^{-t}\,dt \quad (n=1,2,\ldots)
\]
を考える．
以下，このノートでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える．
$a_1$ の値を求める
詳細（click）
部分積分法により
$$
\begin{eqnarray*}
a_1 & = & \frac{1}{1!}\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt = \Bigl[-te^{-t}\Bigr]_{0}^{x} + \int_{0}^{x}e^{-t}\,dt \\
& = & -\frac{x}{e^x} + \Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{x} = 1-\frac{x+1}{e^x}.
\end{eqnarray*}
$$
$a_n$ の極限を求める
詳細（click）
$0\leqq x \leqq 1$ のとき，$0 \leqq t \leqq x$ において
\[
0 \leqq t^ne^{-t} \leqq e^{-t}
\]
であるから
\[
0 \leqq a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \leqq \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt = \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{e}\right)
\]
が成り立つ．ゆえにはさみうちの原理を適用して
\[
\lim_{n \to \infty}a_n = 0.
\]
$x \geqq 1$ のとき，$0 \leqq t \leqq x$ において
\[
0 \leqq t^ne^{-t} \leqq x^ne^{-t}
\]
であるから
\[
0 \leqq a_n = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \leqq \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}x^ne^{-t}\,dt = \frac{x^n}{n!}\left(1-\frac{1}{e^x}\right)
\]
が成り立つ．
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{x^n}{n!} = 0
\]
であるから（証明は補足の補題を参照），はさみうちの原理を適用して
\[
\lim_{n \to \infty}a_n = 0
\]
を得る．
$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を求める
詳細（click）
部分積分法により
$$
\begin{eqnarray*}
a_{n+1} & = & \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{x}t^{n+1}e^{-t}\,dt \\
& = & \frac{1}{(n+1)!}\left(\Bigl[-t^{n+1}e^{-t}\Bigr]_{0}^{x} + \int_{0}^{x}(n+1)t^ne^{-t}\,dt\right) \\
& = & \frac{1}{(n+1)!}\cdot\left(-\frac{x^{n+1}}{e^x}\right) + \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^ne^{-t}\,dt \\
& = & a_n-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}
\end{eqnarray*}
$$
が成り立つ．
主結果 1：指数関数の Maclaurin 展開
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \qquad (x \geqq 0)
\]
詳細（click）
先の結果より，階差数列の考え方を用いて数列 $\{a_n\}$ は $N \geqq 2$ のとき
\[
a_N = a_1 + \sum_{n=1}^{N-1}\left(-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!e^x}\right) = 1-\frac{x+1}{e^x}-\frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{N-1}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
\]
を満たすことが判る．ここで $N \to \infty$ の極限を考えれば
$$
\begin{eqnarray*}
0 & = & 1-\frac{x+1}{e^x}-\frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\
\frac{1}{e^x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & 1-\frac{x+1}{e^x} \\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & e^x-x-1 \\
1 + x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} & = & e^x \\
\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & e^x \\
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & e^x
\end{eqnarray*}
$$
より求める式が示された．
特殊値
例えば次のような無限級数の値が判る．
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{6^n}{n!} = e^6 ,\quad
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\log{2})^n}{n!} = 2 ,\quad
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\cdot2^n} = \sqrt{e}.
\]
補足
補題 2：$p^n/n!$ の極限
$0$ 以上の実数 $p$ に対して
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0
\]
が成り立つ．
証明（click）
$n$ は $\ell$ より十分に大きい自然数とする．
$$
\begin{eqnarray*}
0 \leqq \frac{\ell^n}{n!} & = & \frac{\ell \cdot \ell \cdot \ell \cdots \ell \cdot \ell \cdot \ell \cdots \ell \cdot \ell \cdot \ell }{n(n-1)(n-2)\cdots(\ell+1)\ell (\ell-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1} \\
& = & \frac{\ell}{n} \cdot \frac{\ell}{n-1} \cdot \frac{\ell}{n-2} \cdots \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell} \cdot \frac{\ell}{\ell-1} \cdots \frac{\ell}{3} \cdot \frac{\ell}{2} \cdot \frac{\ell}{1} \\
& \leqq & \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell+1} \cdots \frac{\ell}{\ell+1} \cdot \frac{\ell}{\ell} \cdot \frac{\ell}{\ell-1} \cdots \frac{\ell}{3} \cdot \frac{\ell}{2} \cdot \frac{\ell}{1} \\
& = & \left(\frac{\ell}{\ell+1}\right)^{n-\ell}\cdot\frac{\ell^\ell}{\ell !} \\
& = & \left(\frac{\ell}{\ell + 1}\right)^n \cdot \frac{(\ell+1)^\ell}{\ell !}
\end{eqnarray*}
$$
が成り立つ．ここで $\displaystyle 0 < \frac{\ell}{\ell + 1} < 1$ であるから
\[
\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\ell}{\ell + 1}\right)^n = 0
\]
である．したがって，はさみうちの原理より
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\ell^n}{n!} = 0
\]
が成り立つ．
$0 \leqq p < 1$ のときは
\[
\lim_{n \to \infty}p^n = 0
\]
であるから明らかに成り立つ．$p \geqq 1$ のとき
\[
\ell \leqq p < \ell + 1
\]
を満たす自然数 $\ell$ がただ１つ存在する．この $\ell$ に対して
\[
\ell^n \leqq p^n < (\ell+1)^n
\]
が成り立つから
\[
\frac{\ell^n}{n!} \leqq \frac{p^n}{n!} < \frac{(\ell + 1)^n}{n!}
\]
も成立する．$n \to \infty$ の極限を考えれば，自然数のときの結果とはさみうちの原理より
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{p^n}{n!} = 0
\]
である．
20190519 更新