Mercator級数

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \cdots
\]
は Mercator級数 と呼ばれ,その値は $\log{2}$ に収束することが知られている.このノートではMercator級数と関連する級数の値の導出について,いくつかの手順をまとめる.

続きを読む

Basel問題

Basel 問題は自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を求める問題である.この級数の和が $\pi^2/6$ に収束することを高校数学の範囲で示す方法についてまとめる.

続きを読む

Leibniz の公式

円周率と無限和に関する等式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
を Leibnizの公式 という.このノートにはLeibnizの公式と関連する級数の値の導出について,いくつかの手法をまとめる.

 

続きを読む

x^x の極限

このノートには以下の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x^x=1
\]

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた.

続きを読む

順列を含む極限

このノートでは順列を含む以下の極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{4}{e}
\]
及び関連する式についてまとめる.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

続きを読む

n項間の漸化式#2

このノートには $4$ 項間漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を行列を使わないで求める手順を載せる.

行列を用いた一般的な解法は以下のノートで扱っている:

続きを読む

n項間の漸化式

このノートでは線形代数(行列)を用いて $n$ 項間の漸化式で定まる数列について,

\[
a_{n+3} = p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_n + s \tag{$\diamondsuit$}
\]

の形の $4$ 項間漸化式を例にして,一般項を求める方法を載せる.

続きを読む