Gauss関数(ガウス――)


確率論,統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と,Gauss積分
\[
\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx
\]
についてのメモ.Gauss積分は広義積分(大学レベル)であり,大学生の知識で簡単に計算できてしまうが,高校数学の範囲に制限して(無茶ともいう)考えてみた.かなり怪しい箇所が散見しているが,とりあえずよしとする.

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Def 1.1
$a,b,c$ を実数とする.関数
\[
ae^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}}
\]
を Gauss 関数 という.
コメント
Lemma 1.2
$x \geqq 0$ において,次の不等式が成り立つ.
\[
1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2}
\]
証明
Lemma 1.3
$\{I_m\} \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$ を Wallis 積分 とする:
\[
I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{t}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{t}\,dt
\]
このとき,$n = 1,2,\ldots$ に対して,次の不等式が成り立つ.
\[
I_{2n+1} \leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} e^{-nx^2} \,dx \leqq I_{2n-2}
\]
証明 コメント
Th 1.4(Gauss 積分)
\[
\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\]

証明
Cor 2.5
\[
\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R} ae^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}}\,dx = ac\sqrt{\pi}
\]
証明 コメント
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