Gauss関数(ガウス――)


確率論,統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と,Gauss積分

    \[  \lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \]

についてのメモ.Gauss積分は広義積分(大学レベル)であり,大学生の知識で簡単に計算できてしまうが,高校数学の範囲に制限して(無茶ともいう)考えてみた.かなり怪しい箇所が散見しているが,とりあえずよしとする.

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Def 1.1
a,b,c を実数とする.関数

    \[ ae^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}} \]

を Gauss 関数 という.

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Lemma 1.2
x \geqq 0 において,次の不等式が成り立つ.

    \[ 	1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]

証明

Lemma 1.3
\{I_m\}~~(m = 0, 1, 2, \ldots)Wallis 積分 とする:

    \[ 	I_m = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{t}\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{t}\,dt \]

このとき,n = 1,2,\ldots に対して,次の不等式が成り立つ.

    \[ 	I_{2n+1} \leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} e^{-nx^2} \,dx \leqq I_{2n-2} \]

証明

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Th 1.4(Gauss 積分)

    \[ 	\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} \]

証明

Cor 2.5

    \[ 	\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R} ae^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}}\,dx = ac\sqrt{\pi} \]

証明

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