極限メモ#3(x^x の極限)


今回は次の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}~, \quad \lim_{x \to +0} x\log{x}~, \quad \lim_{x \to +0} x^x
\]

について考える.はじめの2つの極限は既知としてよい(必要に応じて用いてよい)とされていることも多いが,今回はあえて高校数学の範囲で納得できるような証明を与えてみる.もしかしたら循環論法になってしまっている箇所もあるかもしれないが,見つけたときはコメント・Twitter などで意見を貰えればありがたい.

なお,$x \to +0$ は $ x $ を 0 より大きい値から近づけていくことを表す.人によっては $x \downarrow 0$ などと表記することもあるようだが,私の場合は $x \to +0$ の記法を用いることにする.恒例の誘導問題つき記事である.

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Question 1.1
関数 $f(x)$ を
\[
f(x) = 2\sqrt{x}-\log{x} \quad (x \geqq 1)
\]
で定める.以下の問いに答えよ.

(1) $f(x)$ の増減を調べ,不等式
\[
0 \leqq \log{x} \leqq 2\sqrt{x} \quad (x \geqq 1)
\]
が成り立つことを示せ.

(2) 極限
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\log{x}}{x}
\]
の収束・発散を調べよ.収束する場合は,その値を求めよ.

(3) 極限の収束・発散を調べよ.収束する場合は,その値を求めよ.
\[
\lim_{x \to +0}x\log{x}
\]
の収束・発散を調べよ.収束する場合は,その値を求めよ.

(4) 極限
\[
\lim_{x \to +0}x^x
\]
の収束・発散を調べよ.収束する場合は,その値を求めよ.

(1) 解答

(2) 解答

(3) 解答

(4) 解答

(4) では連続な関数 $f(x)$ に対して
\[
\lim_{x \to a}g(x) = g(a) ~\Longrightarrow~ \lim_{x \to a}f(g(x)) = f(g(a))
\]
が成り立つという事実を用いている.本来は厳密な極限の定義($\varepsilon – \delta$ 論法)から証明するべき事実であるが,高校数学では極限の定義が適度に曖昧だから暗黙の内に許されている.これを用いた問題も少なくない.


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