Hadamard 積の半正定値性


正定値カーネルの積が正定値カーネルとなることの証明に必要となった補題の証明についてのメモ.

スポンサーリンク

 

Def 1(Hadamard 積)
2つの $m \times n$ 行列\(A = [a_{ij}]\)と\(B = [b_{ij}]\)に対し,
$$
C = [c_{ij}] = [a_{ij}b_{ij}]
$$
で定まる行列\(C\)を\(A\)と\(B\)のHadamard積といい,\(A \odot B\)で表す.

 

Def 2(半正定値)
任意の\(n\)次ベクトル\(\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}\)に対して,\(n\)次正方行列\(A\)が
$$
\boldsymbol{x}^\ast A \boldsymbol{x} \geqq 0
$$
を満たすとき,\(A\)は半正定値であるという.

 

Lemma 3
\(n\)次の半正定値なHermite行列\(A,B\)に対し,\(A \odot B\)は半正定値である.
証明

 

Cor 4
集合\(X\)上の正定値カーネル\(k_1,k_2\)に対して
$$
k_1k_2 = k_1(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})k_2(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})
$$
は正定値カーネルである.

 


スポンサーリンク