Hadamard 積の半正定値性


正定値カーネルの積が正定値カーネルとなることの証明に必要となった補題の証明についてのメモ.

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Def 1(Hadamard 積)
2つの m \times n 行列 A = [a_{ij}]B = [b_{ij}] に対し,

    \[ C = [c_{ij}] = [a_{ij}b_{ij}] \]

で定まる行列 CAB の Hadamard 積 といい,A \odot B で表す.

 

Def 2(半正定値)
任意の n 次非零ベクトル \bm{x} に対して,n 次正方行列 A

    \[ \bm{x}^\ast A \bm{x} \geqq 0 \]

を満たすとき,A は半正定値であるという.

 

Lemma 3
n 次の半正定値な Hermite 行列 A,B に対し,A \odot B は半正定値である.
証明

 

Cor 4
集合 X 上の正定値カーネル k_1,k_2 に対して

    \[ k_1k_2 = k_1(\bm{x},\bm{y})k_2(\bm{x},\bm{y}) \]

は正定値カーネルである.

 


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