解析学

2017年4月18日

x^x の極限

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以下の３つの極限

$lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0, lim_{x \to + 0} x \log x = 0, lim_{x \to + 0} x^{x} = 1$

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた．

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2017年4月11日

順列を含む極限

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順列を含む以下の極限
$lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{_{2 n} P_{n}}}{n} = \frac{4}{e}$
及び関連する式についてまとめた．ただし P は順列（permutation）の記号で
$_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$
である．

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2017年4月10日

n項間の漸化式#2

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$4$ 項間漸化式
$a_{n + 3} = - 2 a_{n + 2} + a_{n + 1} + 2 a_{n} - 1, a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3$
で定められる数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ の一般項を行列を使わないで求める手順を載せる．

行列を用いた一般的な解法は以下のノートで扱っている：

n項間の漸化式

http://sigmagic.net/math/recurrence-n

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2017年4月9日

n項間の漸化式

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行列（線形代数）を用いて

$a_{n + 3} = p a_{n + 2} + q a_{n + 1} + r a_{n} + s$

の形の $4$ 項間漸化式を満たす数列の一般項を求める．

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2017年4月8日

指数関数のMaclaurin展開

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指数関数 $e^{x}$ が
$\begin{matrix} (♠) & e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \end{matrix}$
の形で表せることを $x ≧ 0$ の範囲で示す手順をまとめた．

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2017年4月7日

1/(1+x^n)の定積分

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定積分

$a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{n}} (n = 1, 2, \dots)$

について， $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ の値を変数変換と部分分数分解で計算した結果をまとめた．

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2017年4月6日

a^n/nの和

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無限級数

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n a^{n}} = \log \frac{a}{a - 1} (a > 1)$

を導出する手順をまとめた．導出の過程で次の結果も得られる：

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin^{2 n} θ}{n} = \log (1 + \tan^{2} θ) (0 ≦ θ < \frac{π}{2})$

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2017年4月5日

Gauss積分：∫e^(-x^2) dx

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Gauss 積分
$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2}$
を Wallis 積分を用いて導出する方法をまとめた．

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2017年4月4日

Wallis積分：∫(sin x)^n dx, ∫(cos x)^n dx

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Wallis 積分
$W_{m} = \int_{0}^{π / 2} \sin^{m} x d x = \int_{0}^{π / 2} \cos^{m} x d x$
の性質と，Wallis の公式や関連する結果をまとめた．
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