解析学

順列を含む極限

順列を含む以下の極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{4}{e}
\]
及び関連する式についてまとめた.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

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a^n/nの和

無限級数

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} = \log{\frac{a}{a-1}} \qquad (a>1)
\]

を導出する手順をまとめた.導出の過程で次の結果も得られる:

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} = \log{(1+\tan^2{\theta})} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right)
\]

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