極限メモ#1


今回は,極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.この極限を求める際にある計算を利用するため,類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない.以下,誘導小問と解答を載せる.

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Question 1

数列 $\{a_n\}~(n = 1,2,\cdots)$ を $\displaystyle{a_{n} = {}_{2n}{\rm P}_n =\frac{(2n)!}{n!}}$ で定める.次の問いに答えよ.ただし ${\rm P}$ は順列の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

(1) 等式
\[
\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}} = \log{a_n}-n\log{n}
\]
が成り立つことを示せ.
(2) 極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n}
\]
を求めよ.
(3) 極限
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
を求めよ.

コメント

解答

$(1)$ 解答

$(2)$ 解答

$(3)$ 解答

より一般(?)の場合

このままではあまりおもしろくないので,少しだけ拡張.とはいっても値を変えられるのは 2 だけである.2 を $\ell$ に変えてみよう.求めるプロセスはほとんど同じである.

Question 2
$\ell$ を 2 以上の自然数とする.極限
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
を求めよ.
解答
Question 3
極限
\[
\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{{}_{4 n}{\rm P}_{n}}{{}_{3 n}{\rm P}_{n}}}
\]
を求めよ.
解答

以前 conbination 記号 C を用いた極限を計算したが,そのときには定数 $\pi$ が,そして今回の順列を用いた極限では定数 $e$ が現れた.比べてみるとなんとなく面白く感じる.


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