極限メモ#1


今回は,極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

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順列の記号を含む極限

Question 1

極限
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
を求めよ.

 

計算の方針と概略

簡単のために数列 $\{a_n\}~(n = 1,2,\cdots)$ を $\displaystyle{a_{n} = {}_{2n}{\rm P}_n =\frac{(2n)!}{n!}}$ で定める.

  • 等式
    \[
    \sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}} = \log{a_n}-n\log{n} \tag{$\clubsuit$}
    \]
    が成り立つことを示す
  • 極限
    \[
    \lim_{n \to \infty} \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n} \tag{$\heartsuit$}
    \]
    を求める
  • 極限
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} \tag{$\spadesuit$}
    \]
    を求める
  •  

    計算

     

    等式 $(\clubsuit)$ が成り立つことを示す

     
    詳細(click)

    $$
    \begin{eqnarray*}
    \sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}}
    & = & \sum_{k=1}^{n} \bigl\{\log{(n+k)}-\log{n}\bigr\} \\
    & = & \log{(n+1)} + \log{(n+2)} + \cdots + \log{(2n)}~-n\log{n} \\
    & = & \log{\bigr\{(n+1)\cdot(n+2)\cdots 2n}\bigr\}-n\log{n} \\
    & = & \log{\frac{(2n)!}{n!}}-n\log{n} \\
    & = & \log{a_n}-n\log{n}
    \end{eqnarray*}
    $$
    とすれば成り立つ.

    //
     

    極限 $(\heartsuit)$ を求める

     
    詳細(click)

    等式 $(\clubsuit)$ と区分求積法を用いると
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \lim_{n \to \infty} \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n}
    & = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{n+k}{n}} \\
    & = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\left(1 + \frac{k}{n}\right)} \\
    & = & \int_{0}^{1} \log{(1+x)}\,dx \\
    & = & \int_{0}^{1} (1+x)’\log{(1+x)}\,dx \\
    & = & \biggl[ (1+x)\log{(1+x)} \biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} (1+x)\cdot \frac{1}{(1+x)}\,dx \\
    & = & 2\log{2}-1
    \end{eqnarray*}
    $$
    を得る.

    //
     

    極限 $(\spadesuit)$ を求める

     
    詳細(click)

    $\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_n} } {n}}$ に自然対数をとると
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \log{\frac{\sqrt[n]{ _{2n}{\rm P}_n} } {n}} & = & \log{\frac{\sqrt[n]{a_n}} {n}} \\
    & = & \log{\sqrt[n]{a_n}}-\log{n} \\
    & = & \frac{1}{n}\log{a_n}-\log{n} \\
    & = & \frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n}
    \end{eqnarray*}
    $$
    である.この等式の右辺の $n \to \infty$ の極限については
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n} = 2\log{2}-1 = \log{4}-\log{e} = \log{\frac{4}{e}}
    \]
    であったから,求める極限は
    \[
    \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{ _{2n}{\rm P}_n} } {n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\log{a_n}-n\log{n}}{n} = \frac{4}{e}
    \]
    である.

    //
     

    一般に ${}_{\ell n}{\rm P}_{n}$ の場合

    Question 2

    $\ell$ を 2 以上の自然数とする.極限
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}}{n}
    \]
    を求めよ.

     
    解答(click)

    求めるプロセスはほとんど同じである.

    \[
    \ell n-(n-k) = (\ell-1)n + k
    \]
    であることに注意すると

    $$
    \begin{eqnarray*}
    {}_{\ell n}{\rm P}_{n} & = & \ell n \cdot (\ell n-1) \cdots \{\ell n-(n-2)\} \cdot \{\ell n-(n-1)\} \\
    & = & \{(\ell-1)n + n\} \cdot \{(\ell-1)n + (n-1)\} \\
    & & \quad \cdots \{(\ell-1)n +2 \} \cdot \{(\ell-1)n +1 \} \\
    & = & \{(\ell-1)n + 1\} \cdot \{(\ell-1)n + 2\} \\
    & & \quad \cdots \{(\ell-1)n +(n-1) \} \cdot \{(\ell-1)n +n \}
    \end{eqnarray*}
    $$
    が成り立つ.ゆえに
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{(\ell-1) n+k}{n}}
    & = & \sum_{k=1}^{n} \bigl\{\log{\{(\ell-1) n+k\}}-\log{n}\bigr\} \\
    & = & \log{\{(\ell-1) n+1)\}} + \log{\{(\ell-1) n+2)\}} + \cdots + \log{\{(\ell-1) n + n\}} + n\log{n} \\
    & = & \log{\bigl[\{(\ell-1)n + 1\} \cdot \{(\ell-1)n + 2\} \cdots \{(\ell-1)n +(n-1) \} \cdot \{(\ell-1)n +n \}\bigr]} + n\log{n} \\
    & = & \log{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}-n\log{n}
    \end{eqnarray*}
    $$
    を得る.ここで,区分求積法を用いれば
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \lim_{n \to \infty} \frac{\log{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}} – n\log{n}}{n} & = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\frac{(\ell-1) n+k}{n}} \\
    & = & \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} \log{\left\{(\ell -1) + \frac{k}{n}\right\}} \\
    & = & \int_{0}^{1} \log{\{(\ell-1)+x\}}\,dx \\
    & = & \int_{0}^{1} (\ell-1+x)’\log{(\ell-1+x)}\,dx \\
    & = & \biggl[ (\ell-1 +x)\log{(\ell-1+x)} \biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\,dx \\
    & = & \ell \log{\ell}-(\ell-1)\log{(\ell-1)}-1 \\
    & = & \log{\ell^\ell}-\log{(\ell-1)^{\ell-1}}-\log{e} \\
    & = & \log{\frac{\ell^\ell}{(\ell-1)^{\ell-1}e}}
    \end{eqnarray*}
    $$
    であるから,求める極限は
    \[
    \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{\ell n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{\ell^\ell}{(\ell-1)^{\ell-1}e}
    \]
    である.実際,これは先の結果($\ell = 2$ のとき) も反映している.

    //
     

    先の問の結果を用いると
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{{}_{4 n}{\rm P}_{n}}{{}_{3 n}{\rm P}_{n}}} & = & \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{4 n}{\rm P}_{n}}}{\sqrt[n]{{}_{3 n}{\rm P}_{n}}} \\
    & = & \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{{}_{4 n}{\rm P}_{n}}}{n} \cdot \frac{n}{\sqrt[n]{{}_{3 n}{\rm P}_{n}}} \\
    & = & \frac{4^4}{3^3e} \cdot \frac{2^2e}{3^3} \\
    & = & \frac{1024}{729}
    \end{eqnarray*}
    $$
    などの結果を得られる.

    20190519 更新


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